Answer :
Claro, vamos a resolver cada uno de los problemas paso a paso.
### a) [tex]\(4^3 \cdot 4^5 = 8^8\)[/tex]
Primero, recordemos una propiedad de los exponentes que indica que cuando multiplicamos potencias con la misma base, sumamos los exponentes:
[tex]\[4^3 \cdot 4^5 = 4^{3+5} = 4^8\][/tex]
Luego, notamos que [tex]\(4^8\)[/tex] no es igual a [tex]\(8^8\)[/tex]. Por lo tanto:
[tex]\[4^3 \cdot 4^5 \neq 8^8\][/tex]
### b) [tex]\((\square + 5)^3 = 512\)[/tex]
512 es un cubo perfecto y reconocemos que:
[tex]\[512 = 8^3\][/tex]
Entonces, tenemos:
[tex]\[(\square + 5)^3 = 8^3\][/tex]
Despejamos:
[tex]\[\square + 5 = 8\][/tex]
[tex]\[\square = 8 - 5\][/tex]
[tex]\[\square = 3\][/tex]
Así que la respuesta es:
[tex]\[\boxed{3}\][/tex]
### c) [tex]\(\left(2^2\right)^x = 256\)[/tex]
Podemos expresar 256 como una potencia de 2:
[tex]\[256 = 2^8\][/tex]
Entonces tenemos:
[tex]\[\left(2^2\right)^x = 2^8\][/tex]
Usando la propiedad de los exponentes:
[tex]\[2^{2x} = 2^8\][/tex]
Como las bases son iguales, podemos igualar los exponentes:
[tex]\[2x = 8\][/tex]
[tex]\[x = \frac{8}{2}\][/tex]
[tex]\[x = 4\][/tex]
Así que la respuesta es:
[tex]\[\boxed{4}\][/tex]
### d) [tex]\(\sqrt{144} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{\square}\)[/tex]
Primero simplificamos:
[tex]\[\sqrt{144} = 12\][/tex]
[tex]\[\sqrt{36} = 6\][/tex]
Entonces:
[tex]\[12 = 6 \cdot \sqrt{\square}\][/tex]
Despejamos [tex]\(\sqrt{\square}\)[/tex]:
[tex]\[\sqrt{\square} = \frac{12}{6}\][/tex]
[tex]\[\sqrt{\square} = 2\][/tex]
Ahora, elevamos ambos lados al cuadrado para encontrar [tex]\(\square\)[/tex]:
[tex]\[\square = 2^2\][/tex]
[tex]\[\square = 4\][/tex]
Así que la respuesta es:
[tex]\[\boxed{4}\][/tex]
### e) [tex]\(\sqrt[3]{\square} \cdot \sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{125}\)[/tex]
Primero simplificamos:
[tex]\[\sqrt[3]{125} = 5\][/tex]
Entonces tenemos:
[tex]\[\sqrt[3]{\square} \cdot \sqrt[3]{25} = 5\][/tex]
Podemos reescribirlo como:
[tex]\[\sqrt[3]{\square \cdot 25} = 5\][/tex]
Elevamos ambos lados al cubo:
[tex]\[\square \cdot 25 = 5^3\][/tex]
[tex]\[\square \cdot 25 = 125\][/tex]
Despejamos [tex]\(\square\)[/tex]:
[tex]\[\square = \frac{125}{25}\][/tex]
[tex]\[\square = 5\][/tex]
Así que la respuesta es:
[tex]\[\boxed{5}\][/tex]
### f) [tex]\(\sqrt[3]{64 \cdot 27} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt{\square}\)[/tex]
Primero simplificamos:
[tex]\[\sqrt[3]{64 \cdot 27} = \sqrt[3]{1728}\][/tex]
[tex]\[\sqrt[3]{64} = 4\][/tex]
Entonces tenemos:
[tex]\[12 = 4 \cdot \sqrt{\square}\][/tex]
Despejamos [tex]\(\sqrt{\square}\)[/tex]:
[tex]\[\sqrt{\square} = \frac{12}{4}\][/tex]
[tex]\[\sqrt{\square} = 3\][/tex]
Ahora, elevamos ambos lados al cuadrado para encontrar [tex]\(\square\)[/tex]:
[tex]\[\square = 3^2\][/tex]
[tex]\[\square = 9\][/tex]
Así que la respuesta es:
[tex]\[\boxed{9}\][/tex]
### g) [tex]\(\sqrt[0]{\sqrt[3]{6}=\sqrt[12]{6}}\)[/tex]
Este apartado no parece tener sentido matemático claro debido a un posible error tipográfico.
En resumen, los valores para los casilleros vacíos son:
[tex]\[ \begin{aligned} & \text{b)}\ \boxed{3} \\ & \text{c)}\ \boxed{4} \\ & \text{d)}\ \boxed{4} \\ & \text{e)}\ \boxed{5} \\ & \text{f)}\ \boxed{9} \\ \end{aligned} \][/tex]
### a) [tex]\(4^3 \cdot 4^5 = 8^8\)[/tex]
Primero, recordemos una propiedad de los exponentes que indica que cuando multiplicamos potencias con la misma base, sumamos los exponentes:
[tex]\[4^3 \cdot 4^5 = 4^{3+5} = 4^8\][/tex]
Luego, notamos que [tex]\(4^8\)[/tex] no es igual a [tex]\(8^8\)[/tex]. Por lo tanto:
[tex]\[4^3 \cdot 4^5 \neq 8^8\][/tex]
### b) [tex]\((\square + 5)^3 = 512\)[/tex]
512 es un cubo perfecto y reconocemos que:
[tex]\[512 = 8^3\][/tex]
Entonces, tenemos:
[tex]\[(\square + 5)^3 = 8^3\][/tex]
Despejamos:
[tex]\[\square + 5 = 8\][/tex]
[tex]\[\square = 8 - 5\][/tex]
[tex]\[\square = 3\][/tex]
Así que la respuesta es:
[tex]\[\boxed{3}\][/tex]
### c) [tex]\(\left(2^2\right)^x = 256\)[/tex]
Podemos expresar 256 como una potencia de 2:
[tex]\[256 = 2^8\][/tex]
Entonces tenemos:
[tex]\[\left(2^2\right)^x = 2^8\][/tex]
Usando la propiedad de los exponentes:
[tex]\[2^{2x} = 2^8\][/tex]
Como las bases son iguales, podemos igualar los exponentes:
[tex]\[2x = 8\][/tex]
[tex]\[x = \frac{8}{2}\][/tex]
[tex]\[x = 4\][/tex]
Así que la respuesta es:
[tex]\[\boxed{4}\][/tex]
### d) [tex]\(\sqrt{144} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{\square}\)[/tex]
Primero simplificamos:
[tex]\[\sqrt{144} = 12\][/tex]
[tex]\[\sqrt{36} = 6\][/tex]
Entonces:
[tex]\[12 = 6 \cdot \sqrt{\square}\][/tex]
Despejamos [tex]\(\sqrt{\square}\)[/tex]:
[tex]\[\sqrt{\square} = \frac{12}{6}\][/tex]
[tex]\[\sqrt{\square} = 2\][/tex]
Ahora, elevamos ambos lados al cuadrado para encontrar [tex]\(\square\)[/tex]:
[tex]\[\square = 2^2\][/tex]
[tex]\[\square = 4\][/tex]
Así que la respuesta es:
[tex]\[\boxed{4}\][/tex]
### e) [tex]\(\sqrt[3]{\square} \cdot \sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{125}\)[/tex]
Primero simplificamos:
[tex]\[\sqrt[3]{125} = 5\][/tex]
Entonces tenemos:
[tex]\[\sqrt[3]{\square} \cdot \sqrt[3]{25} = 5\][/tex]
Podemos reescribirlo como:
[tex]\[\sqrt[3]{\square \cdot 25} = 5\][/tex]
Elevamos ambos lados al cubo:
[tex]\[\square \cdot 25 = 5^3\][/tex]
[tex]\[\square \cdot 25 = 125\][/tex]
Despejamos [tex]\(\square\)[/tex]:
[tex]\[\square = \frac{125}{25}\][/tex]
[tex]\[\square = 5\][/tex]
Así que la respuesta es:
[tex]\[\boxed{5}\][/tex]
### f) [tex]\(\sqrt[3]{64 \cdot 27} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt{\square}\)[/tex]
Primero simplificamos:
[tex]\[\sqrt[3]{64 \cdot 27} = \sqrt[3]{1728}\][/tex]
[tex]\[\sqrt[3]{64} = 4\][/tex]
Entonces tenemos:
[tex]\[12 = 4 \cdot \sqrt{\square}\][/tex]
Despejamos [tex]\(\sqrt{\square}\)[/tex]:
[tex]\[\sqrt{\square} = \frac{12}{4}\][/tex]
[tex]\[\sqrt{\square} = 3\][/tex]
Ahora, elevamos ambos lados al cuadrado para encontrar [tex]\(\square\)[/tex]:
[tex]\[\square = 3^2\][/tex]
[tex]\[\square = 9\][/tex]
Así que la respuesta es:
[tex]\[\boxed{9}\][/tex]
### g) [tex]\(\sqrt[0]{\sqrt[3]{6}=\sqrt[12]{6}}\)[/tex]
Este apartado no parece tener sentido matemático claro debido a un posible error tipográfico.
En resumen, los valores para los casilleros vacíos son:
[tex]\[ \begin{aligned} & \text{b)}\ \boxed{3} \\ & \text{c)}\ \boxed{4} \\ & \text{d)}\ \boxed{4} \\ & \text{e)}\ \boxed{5} \\ & \text{f)}\ \boxed{9} \\ \end{aligned} \][/tex]
