Una compañía automotriz tiene informes de que el 7 por ciento de sus vehículos tienen defectos. Suponga que la proporción poblacional es [tex][tex]$p = 0.07$[/tex][/tex] y que de la población se toma una muestra aleatoria simple de [tex][tex]$700$[/tex][/tex] vehículos.

a. ¿Cuál es el tamaño de muestra? [tex][tex]$700$[/tex][/tex]
b. ¿Cuál es la proporción de éxito poblacional [tex][tex]$(p)$[/tex][/tex]? [tex][tex]$0.07$[/tex][/tex]
c. ¿Cuál es la proporción de fracaso poblacional [tex][tex]$(q)$[/tex][/tex]? [tex][tex]$0.93$[/tex][/tex]
d. ¿Cuál es el error estándar, redondear a 4 decimales? [tex][tex]$0.0096$[/tex][/tex]
e. ¿Cuál es el valor de [tex][tex]$z$[/tex][/tex] para [tex][tex]$(\hat{p} - p \ \textgreater \ 0.015)$[/tex][/tex], redondear a 4 decimales? [tex][tex]$1.5554$[/tex][/tex]
f. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral difiera en más de 0.015 de la proporción poblacional [tex][tex]$p (\hat{p} - p \ \textgreater \ 0.015)$[/tex][/tex], redondear a 4 decimales? [tex][tex]$0.1198$[/tex][/tex]



Answer :

Claro, resolvamos paso a paso estas preguntas relacionadas con una muestra de vehículos en una compañía automotriz.

Supongamos que la proporción poblacional de vehículos defectuosos es [tex]\( p = 0.07 \)[/tex] y tenemos una muestra aleatoria simple de 700 vehículos.

### a. Tamaño de la muestra

El tamaño de muestra [tex]\( n \)[/tex] es [tex]\( 700 \)[/tex].

### b. Proporción de éxito poblacional [tex]\( p \)[/tex]

La proporción de éxito poblacional [tex]\( p \)[/tex] es [tex]\( 0.07 \)[/tex].

### c. Proporción de fracaso poblacional [tex]\( q \)[/tex]

La proporción de fracaso poblacional [tex]\( q \)[/tex] se calcula como [tex]\( 1 - p \)[/tex]:
[tex]\[ q = 1 - 0.07 = 0.93 \][/tex]

### d. Error estándar

El error estándar se calcula utilizando la fórmula:
[tex]\[ \text{Error estándar} = \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}} \][/tex]

Sustituimos los valores de [tex]\( p \)[/tex], [tex]\( q \)[/tex] y [tex]\( n \)[/tex]:
[tex]\[ \text{Error estándar} = \sqrt{\frac{0.07 \cdot 0.93}{700}} \][/tex]

Primero, calculamos el numerador:
[tex]\[ 0.07 \cdot 0.93 = 0.0651 \][/tex]

Luego, dividimos por el tamaño de la muestra:
[tex]\[ \frac{0.0651}{700} \approx 0.000093 \][/tex]

Finalmente, obtenemos la raíz cuadrada:
[tex]\[ \sqrt{0.000093} \approx 0.0096 \][/tex]

Redondeando a 4 decimales, tenemos:
[tex]\[ \text{Error estándar} = 0.0096 \][/tex]

### e. Valor de [tex]\( z \)[/tex] para [tex]\( \hat{p} - p > 0.015 \)[/tex]

El valor de [tex]\( z \)[/tex] se calcula como:
[tex]\[ z = \frac{\text{diferencia}}{\text{error estándar}} \][/tex]

Donde la diferencia es [tex]\( 0.015 \)[/tex]:
[tex]\[ z = \frac{0.015}{0.0096} \approx 1.5625 \][/tex]

Redondeando a 4 decimales, tenemos:
[tex]\[ z = 1.5625 \][/tex]

### f. Probabilidad de que la proporción muestral difiera en más de 0.015 de la proporción poblacional [tex]\( p \)[/tex]

Primero, calculamos la probabilidad acumulada para el valor de [tex]\( z \)[/tex] usando la tabla de distribución normal.

La probabilidad acumulada [tex]\( P(Z < 1.5625) \)[/tex] se busca en la tabla estándar de la distribución normal, que típicamente da un valor cercano a 0.9411.

La probabilidad de que la proporción muestral difiera en más de 0.015 de la proporción poblacional [tex]\( p \)[/tex] es:
[tex]\[ P(Z > 1.5625) = 1 - P(Z < 1.5625) \approx 1 - 0.9411 = 0.0589 \][/tex]

Multiplicando por 2 para considerar ambas colas de la distribución:
[tex]\[ \text{Probabilidad} = 2 \cdot 0.0589 \approx 0.1178 \][/tex]

Redondeando a 4 decimales, obtenemos:
[tex]\[ \text{Probabilidad} = 0.1178 \][/tex]

Resumiendo:

a. Tamaño de muestra: [tex]\( 700 \)[/tex]

b. Proporción de éxito poblacional [tex]\( (p) \)[/tex]: [tex]\( 0.07 \)[/tex]

c. Proporción de fracaso poblacional [tex]\( (q) \)[/tex]: [tex]\( 0.93 \)[/tex]

d. Error estándar: [tex]\( 0.0096 \)[/tex]

e. Valor de [tex]\( z \)[/tex]: [tex]\( 1.5625 \)[/tex]

f. Probabilidad de una diferencia mayor a 0.015: [tex]\( 0.1178 \)[/tex]