Hoja de trabajo 79
Iniciación a la lectura de gráficas de funciones lineales

Un estudiante creó una fórmula que produce los siguientes valores de salida.

\begin{tabular}{c|c}
\hline
\begin{tabular}{l}
Valor de \\
entrada
\end{tabular} &
\begin{tabular}{c}
Valor de \\
salida
\end{tabular} \\
\hline 1 & 3 \\
\hline 2 & 5 \\
\hline 3 & 7 \\
\hline -2 & -3 \\
\hline
\end{tabular}

1. Encuentra esa fórmula y compruébala con ayuda de tu calculadora. Anótala en el siguiente recuadro.

2. Completa la siguiente tabla usando tu fórmula.

\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
Valor de entrada: & -2.5 & -1 & -0.5 & 0 & 0.5 & 1.2 & 1.5 & 2 \\
\hline
Valor de salida: & & & & & & & & \\
\hline
\end{tabular}

3. Utiliza los valores de la tabla para construir su gráfica en el siguiente plano cartesiano. Marca los puntos y después traza con lápiz la recta que pasa por ellos.

4. Ahora construye la gráfica en tu calculadora y compárala con la que trazaste con lápiz. Verifica que pasen por los mismos puntos.

5. Utiliza la tecla TRACE para recorrer la gráfica.
- ¿Qué valor tiene [tex]$x$[/tex] cuando [tex]$y=-17$[/tex]? [tex]$\qquad$[/tex]
- ¿Qué valor tiene [tex]$y$[/tex] cuando [tex]$x=0$[/tex]? [tex]$\qquad$[/tex]
- ¿Qué valor tiene [tex]$x$[/tex] cuando [tex]$y=0$[/tex]? [tex]$\qquad$[/tex]



Answer :

1. Encontrar la fórmula que relaciona los valores de entrada y salida:

Partimos de los datos proporcionados:

[tex]\[ \begin{array}{c|c} \text{Valor de entrada} & \text{Valor de salida} \\ \hline 1 & 3 \\ 2 & 5 \\ 3 & 7 \\ -2 & -3 \\ \end{array} \][/tex]

Observamos que los valores de salida ([tex]$y$[/tex]) corresponden a una función lineal de los valores de entrada ([tex]$x$[/tex]). La forma de una función lineal es:

[tex]\[ y = ax + b \][/tex]

Para encontrar los coeficientes [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex], podemos utilizar dos pares de datos. Tomemos los puntos (1, 3) y (2, 5):

[tex]\[ \begin{cases} 3 = a \cdot 1 + b \\ 5 = a \cdot 2 + b \end{cases} \][/tex]

Resolviendo este sistema de ecuaciones:

1. [tex]\( 3 = a + b \)[/tex]
2. [tex]\( 5 = 2a + b \)[/tex]

Restando la primera ecuación de la segunda:

[tex]\[ (5 = 2a + b) - (3 = a + b) \implies 2 = a \implies a = 2 \][/tex]

Sustituyendo [tex]\(a = 2\)[/tex] en la primera ecuación:

[tex]\[ 3 = 2 \cdot 1 + b \implies 3 = 2 + b \implies b = 1 \][/tex]

Por lo tanto, la fórmula es:

[tex]\[ y = 2x + 1 \][/tex]

_Nota en el recuadro:_ La fórmula es [tex]\(y = 2x + 1\)[/tex].

2. Completar la tabla usando la fórmula:

Usamos la fórmula [tex]\(y = 2x + 1\)[/tex] para calcular los valores de salida:

[tex]\[ \begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline \text{Valor de entrada} & -2.5 & -1 & -0.5 & 0 & 0.5 & 1.2 & 1.5 & 2 \\ \hline \text{Valor de salida} & -4 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3.4 & 4 & 5 \\ \hline \end{array} \][/tex]

Los valores calculados son:

[tex]\[ \begin{tabular}{|c|c|} \hline \text{Valor de entrada} & \text{Valor de salida} \\ \hline -2.5 & -4 \\ \hline -1 & -1 \\ \hline -0.5 & 0 \\ \hline 0 & 1 \\ \hline 0.5 & 2 \\ \hline 1.2 & 3.4 \\ \hline 1.5 & 4 \\ \hline 2 & 5 \\ \hline \end{tabular} \][/tex]

3. Construcción de gráfica:

Utiliza la tabla completada para marcar los puntos en un plano cartesiano: (-2.5, -4), (-1, -1), (-0.5, 0), (0, 1), (0.5, 2), (1.2, 3.4), (1.5, 4), (2, 5). Luego, traza una línea recta que pase por todos estos puntos.

4. Comparación con la calculadora:

Grafica [tex]\( y = 2x + 1 \)[/tex] en tu calculadora y asegúrate de que los puntos de la gráfica coincidan con los calculados y trazados manualmente.

5. Uso de TRACE para examinar la gráfica y encontrar valores específicos:

[tex]\[ \begin{align*} &\text{Valor de } x \text{ cuando } y = -17: \\ -17 &= 2x + 1 \\ -18 &= 2x \\ x &= -9 \end{align*} \][/tex]

[tex]\[ \text{Valor de } y \text{ cuando } x = 0: \\ y = 2(0) + 1 = 1 \][/tex]

[tex]\[ \begin{align*} &\text{Valor de } x \text{ cuando } y = 0: \\ 0 &= 2x + 1 \\ -1 &= 2x \\ x &= -\frac{1}{2} \end{align*} \][/tex]

Resumen:

[tex]\[ \begin{align*} x \text{ cuando } y = -17 & : -9 \\ y \text{ cuando } x = 0 & : 1 \\ x \text{ cuando } y = 0 & : -\frac{1}{2} \end{align*} \][/tex]