Vamos aprofundar na resolução deste problema matemático.
Assuma que temos dois conjuntos:
- [tex]\( A = \{1, 4, 9\} \)[/tex]
- [tex]\( B = \{-2, 2, 3\} \)[/tex]
Precisamos encontrar a relação [tex]\( R \)[/tex] entre os conjuntos [tex]\( A \)[/tex] e [tex]\( B \)[/tex] tal que [tex]\( y^2 = x \)[/tex], onde [tex]\( x \)[/tex] pertence a [tex]\( A \)[/tex] e [tex]\( y \)[/tex] pertence a [tex]\( B \)[/tex].
Vamos analisar cada combinação de [tex]\( x \)[/tex] em [tex]\( A \)[/tex] e [tex]\( y \)[/tex] em [tex]\( B \)[/tex] para verificar quais satisfazem a condição [tex]\( y^2 = x \)[/tex]:
1. Para [tex]\( x = 1 \)[/tex]:
- [tex]\( y = -2 \)[/tex]: [tex]\((-2)^2 = 4\neq 1\)[/tex]
- [tex]\( y = 2 \)[/tex]: [tex]\( 2^2 = 4 \ne 1\)[/tex]
- [tex]\( y = 3 \)[/tex]: [tex]\( 3^2 = 9 \ne 1 \)[/tex]
- Nenhum valor de [tex]\( y \)[/tex] em [tex]\( B \)[/tex] satisfaz [tex]\( y^2 = 1 \)[/tex].
2. Para [tex]\( x = 4 \)[/tex]:
- [tex]\( y = -2 \)[/tex]: [tex]\((-2)^2 = 4\)[/tex]
- [tex]\( y = 2 \)[/tex]: [tex]\( 2^2 = 4\)[/tex]
- [tex]\( y = 3 \)[/tex]: [tex]\( 3^2 = 9 \ne 4\)[/tex]
- Os valores de [tex]\( y \)[/tex], [tex]\(-2\)[/tex] e [tex]\(2\)[/tex], satisfazem [tex]\( y^2 = 4 \)[/tex]. Então os pares ordenados [tex]\((-2, 4)\)[/tex] e [tex]\((2, 4)\)[/tex] pertencem a [tex]\( R \)[/tex].
3. Para [tex]\( x = 9 \)[/tex]:
- [tex]\( y = -2 \)[/tex]: [tex]\((-2)^2 = 4 \ne 9\)[/tex]
- [tex]\( y = 2 \)[/tex]: [tex]\( 2^2 = 4 \ne 9\)[/tex]
- [tex]\( y = 3 \)[/tex]: [tex]\( 3^2 = 9\)[/tex]
- O valor de [tex]\( y = 3 \)[/tex] satisfaz [tex]\( y^2 = 9 \)[/tex]. Então o par ordenado [tex]\((3, 9)\)[/tex] pertence a [tex]\( R \)[/tex].
A partir dessa análise, podemos ver que a relação [tex]\( R \)[/tex] que satisfaz a condição [tex]\( y^2 = x \)[/tex] é:
[tex]\[ R = \{( -2, 4 ), ( 2, 4 ), ( 3, 9 )\} \][/tex]
Agora, vamos comparar esta relação com as opções fornecidas:
a. [tex]\( \{(-2,4), (2,4), (9,3)\} \)[/tex] - Não corresponde a [tex]\( (9,3) \)[/tex].
b. [tex]\( \{(-2,2), (1,2), (3,9)\} \)[/tex] - Não corresponde a [tex]\( y^2 = x \)[/tex].
c. [tex]\( \{(-2,1), (1,2), (3,9)\} \)[/tex] - Não corresponde a [tex]\( y^2 = x \)[/tex].
d. [tex]\( \{(1,-2), (4,2), (9,3)\} \)[/tex] - A ordem dos pares não está correta e não corresponde a [tex]\( y^2 = x \)[/tex].
e. [tex]\( \{(4,2), (4,-2), (9,3)\} \)[/tex] - As ordens podem parecer diferentes, mas é equivalente a nossa relação desejada [tex]\(((2, 4), (-2, 4), (3, 9))\)[/tex].
Portanto, a resposta correta é a opção (e):
[tex]\[ \boxed{\{(4,2), (4,-2), (9,3)\}} \][/tex]
