Pour résoudre ce problème, nous devons déterminer le prix d'une tasse de café et le prix d'un verre de jus d'orange en utilisant les informations données. Suivons les étapes détaillées pour obtenir la solution :
1. Définir les inconnues :
- Soit \( c \) le prix d'une tasse de café en dirhams.
- Soit \( j \) le prix d'un verre de jus d'orange en dirhams.
2. Formuler les équations basées sur les informations données :
- La famille d'Ahmed a payé 98 dirhams pour 4 tasses de café et 6 verres de jus d'orange.
Cela nous donne l'équation :
[tex]\[
4c + 6j = 98
\][/tex]
- La famille de Salim a payé 92 dirhams pour 6 tasses de café et 4 verres de jus d'orange.
Cela nous donne l'équation :
[tex]\[
6c + 4j = 92
\][/tex]
3. Résoudre le système d'équations linéaires :
- Nous avons donc le système suivant :
[tex]\[
\begin{cases}
4c + 6j = 98 \quad \text{(1)} \\
6c + 4j = 92 \quad \text{(2)}
\end{cases}
\][/tex]
4. Élimination et substitution :
- Multipliant l'équation (1) par 3 et l'équation (2) par 2 pour éliminer \( j \), nous obtenons :
[tex]\[
\begin{cases}
12c + 18j = 294 \quad \text{(3)} \\
12c + 8j = 184 \quad \text{(4)}
\end{cases}
\][/tex]
- En soustrayant l'équation (4) de l'équation (3), nous obtenons :
[tex]\[
(12c + 18j) - (12c + 8j) = 294 - 184
\][/tex]
[tex]\[
10j = 110
\][/tex]
- En divisant par 10, nous obtenons :
[tex]\[
j = 11
\][/tex]
5. Substitution de \( j \) dans l'une des équations initiales pour trouver \( c \) :
- En utilisant l'équation (1) :
[tex]\[
4c + 6(11) = 98
\][/tex]
[tex]\[
4c + 66 = 98
\][/tex]
[tex]\[
4c = 98 - 66
\][/tex]
[tex]\[
4c = 32
\][/tex]
[tex]\[
c = 8
\][/tex]
6. Vérification des solutions :
- Remplaçons \( c \) et \( j \) dans l'équation (2) pour vérifier :
[tex]\[
6(8) + 4(11) = 92
\][/tex]
[tex]\[
48 + 44 = 92
\][/tex]
- Les deux côtés de l'équation sont égaux, donc les solutions sont correctes.
Ainsi, le prix d'une tasse de café est de 8 dirhams et le prix d'un verre de jus d'orange est de 11 dirhams.
