Claro, veamos la división de los polinomios paso a paso.
Deseamos dividir [tex]\( x^3 - 1 \)[/tex] entre [tex]\( x - 1 \)[/tex].
### Paso 1: Escribir la división polinómica en una forma de división larga:
[tex]\[
\frac{x^3 - 1}{x - 1}
\][/tex]
### Paso 2: Dividir el término principal del dividendo ([tex]\( x^3 \)[/tex]) por el término principal del divisor ([tex]\( x \)[/tex]):
[tex]\[
\frac{x^3}{x} = x^2
\][/tex]
### Paso 3: Multiplicar [tex]\( x^2 \)[/tex] por [tex]\( x - 1 \)[/tex] y restar el resultado del dividendo original:
[tex]\[
x^2 \cdot (x - 1) = x^3 - x^2
\][/tex]
[tex]\[
(x^3 - 1) - (x^3 - x^2) = x^2 - 1
\][/tex]
Ahora tenemos un nuevo dividendo: [tex]\( x^2 - 1 \)[/tex].
### Paso 4: Repetir el proceso con el nuevo dividendo [tex]\( x^2 - 1 \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{x^2}{x} = x
\][/tex]
Multiplicar [tex]\( x \)[/tex] por [tex]\( x - 1 \)[/tex]:
[tex]\[
x \cdot (x - 1) = x^2 - x
\][/tex]
Restar:
[tex]\[
(x^2 - 1) - (x^2 - x) = x - 1
\][/tex]
### Paso 5: Repetir el proceso con el nuevo dividendo [tex]\( x - 1 \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{x}{x} = 1
\][/tex]
Multiplicar [tex]\( 1 \)[/tex] por [tex]\( x - 1 \)[/tex]:
[tex]\[
1 \cdot (x - 1) = x - 1
\][/tex]
Restar:
[tex]\[
(x - 1) - (x - 1) = 0
\][/tex]
### Resultado final:
Cuando [tex]\( x^3 - 1 \)[/tex] se divide por [tex]\( x - 1 \)[/tex], obtenemos un cociente de [tex]\( x^2 + x + 1 \)[/tex] y un residuo de [tex]\( 0 \)[/tex].
[tex]\[
\frac{x^3 - 1}{x - 1} = x^2 + x + 1 \quad \text{con residuo} \quad 0
\][/tex]
Así que, el cociente es [tex]\( x^2 + x + 1 \)[/tex] y el residuo es [tex]\( 0 \)[/tex].
