Vamos a resolver este problema paso a paso.
1. Identificación y notación de los términos de la progresión aritmética (P.A.):
Sea una P.A. de 7 términos: [tex]\( a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, a+5d, a+6d \)[/tex], donde [tex]\(a\)[/tex] es el primer término y [tex]\(d\)[/tex] es la diferencia común.
2. Sumas de los términos en posiciones impares y pares:
- Términos en posiciones impares: [tex]\(a\)[/tex], [tex]\(a+2d\)[/tex], y [tex]\(a+4d\)[/tex]
- Términos en posiciones pares: [tex]\(a+d\)[/tex], [tex]\(a+3d\)[/tex], y [tex]\(a+5d\)[/tex]
3. Establecimiento de ecuaciones según las sumas dadas:
- Suma de los términos en posiciones impares:
[tex]\[
a + (a+2d) + (a+4d) = 72
\][/tex]
- Suma de los términos en posiciones pares:
[tex]\[
(a+d) + (a+3d) + (a+5d) = 54
\][/tex]
4. Simplificación de las ecuaciones:
- Ecuación de términos impares:
[tex]\[
a + a + 2d + a + 4d = 72
\][/tex]
[tex]\[
3a + 6d = 72
\][/tex]
[tex]\[
a + 2d = 24 \quad \text{(Dividimos todo entre 3)}
\][/tex]
- Ecuación de términos pares:
[tex]\[
a + d + a + 3d + a + 5d = 54
\][/tex]
[tex]\[
3a + 9d = 54
\][/tex]
[tex]\[
a + 3d = 18 \quad \text{(Dividimos todo entre 3)}
\][/tex]
5. Resolución del sistema de ecuaciones:
- Tenemos el siguiente sistema:
[tex]\[
a + 2d = 24
\][/tex]
[tex]\[
a + 3d = 18
\][/tex]
- Restamos la primera ecuación de la segunda:
[tex]\[
(a + 3d) - (a + 2d) = 18 - 24
\][/tex]
[tex]\[
d = -6
\][/tex]
- Sustituimos [tex]\(d = -6\)[/tex] en la primera ecuación:
[tex]\[
a + 2(-6) = 24
\][/tex]
[tex]\[
a - 12 = 24
\][/tex]
[tex]\[
a = 36
\][/tex]
6. Determinación del término central:
- El término central (cuarto término) de la P.A. es [tex]\(a + 3d\)[/tex]:
[tex]\[
a + 3d = 36 + 3(-6) = 36 - 18 = 18
\][/tex]
Entonces, el término central de la P.A. es 18.
La respuesta correcta es:
B) 18
