Para que una ecuación cuadrática [tex]$3x^2 + 2ax + a^2 - 6 = 0$[/tex] tenga raíces iguales, su discriminante debe ser igual a cero.
Recordemos que el discriminante de una ecuación cuadrática de la forma [tex]$Ax^2 + Bx + C = 0$[/tex] está dado por:
[tex]\[ \Delta = B^2 - 4AC \][/tex]
En nuestra ecuación, identificamos los coeficientes como:
- [tex]\( A = 3 \)[/tex]
- [tex]\( B = 2a \)[/tex]
- [tex]\( C = a^2 - 6 \)[/tex]
Ahora, calculamos el discriminante [tex]\(\Delta\)[/tex]:
[tex]\[ \Delta = (2a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (a^2 - 6) \][/tex]
Simplificando la expresión:
[tex]\[ \Delta = 4a^2 - 12(a^2 - 6) \][/tex]
Distribuyendo el 12 dentro del paréntesis:
[tex]\[ \Delta = 4a^2 - 12a^2 + 72 \][/tex]
Combinando términos semejantes:
[tex]\[ \Delta = (4a^2 - 12a^2) + 72 \][/tex]
[tex]\[ \Delta = -8a^2 + 72 \][/tex]
Para que la ecuación tenga raíces iguales, el discriminante debe ser igual a cero:
[tex]\[ -8a^2 + 72 = 0 \][/tex]
Resolvemos esta ecuación para [tex]\( a \)[/tex]:
[tex]\[ -8a^2 = -72 \][/tex]
Dividimos ambos lados de la ecuación por -8:
[tex]\[ a^2 = 9 \][/tex]
Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados para obtener el valor de [tex]\( a \)[/tex]:
[tex]\[ a = \pm3 \][/tex]
Por lo tanto, los valores de [tex]\( a \)[/tex] para los cuales la ecuación tiene raíces iguales son:
[tex]\[ a = -3 \quad \text{y} \quad a = 3 \][/tex]
En resumen, los valores de [tex]\( a \)[/tex] son:
[tex]\[
a = \boxed{-3 \ \text{y}\ 3}
\][/tex]
