Para encontrar os valores reais de [tex]\( x \)[/tex] para os quais as expressões [tex]\( 11x^4 - 6x^2 \)[/tex] e [tex]\( x^2 + 4 \)[/tex] são iguais, precisamos resolver a seguinte equação:
[tex]\[ 11x^4 - 6x^2 = x^2 + 4 \][/tex]
Passo 1: Reescreva a equação de modo que todos os termos estejam de um lado, deixando o outro lado igual a zero:
[tex]\[ 11x^4 - 6x^2 - x^2 - 4 = 0 \][/tex]
[tex]\[ 11x^4 - 7x^2 - 4 = 0 \][/tex]
Passo 2: Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Deixe [tex]\( y = x^2 \)[/tex]. Assim, teremos:
[tex]\[ 11y^2 - 7y - 4 = 0 \][/tex]
Passo 3: Esta é uma equação quadrática na forma [tex]\( ay^2 + by + c = 0 \)[/tex]. Vamos resolvê-la utilizando a fórmula quadrática:
[tex]\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
onde [tex]\( a = 11 \)[/tex], [tex]\( b = -7 \)[/tex] e [tex]\( c = -4 \)[/tex].
Passo 4: Substitua [tex]\( a \)[/tex], [tex]\( b \)[/tex] e [tex]\( c \)[/tex] na fórmula quadrática:
[tex]\[ y = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-4)}}{2 \cdot 11} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 176}}{22} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{7 \pm \sqrt{225}}{22} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{7 \pm 15}{22} \][/tex]
Passo 5: Resolva para as duas possíveis soluções de [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ y_1 = \frac{7 + 15}{22} = \frac{22}{22} = 1 \][/tex]
[tex]\[ y_2 = \frac{7 - 15}{22} = \frac{-8}{22} = -\frac{4}{11} \][/tex]
Passo 6: Relembrando que [tex]\( y = x^2 \)[/tex], substitua [tex]\( y \)[/tex] de volta em [tex]\( x^2 \)[/tex]:
Para [tex]\( y_1 = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ x^2 = 1 \][/tex]
[tex]\[ x = \pm 1 \][/tex]
Para [tex]\( y_2 = -\frac{4}{11} \)[/tex]:
[tex]\[ x^2 = -\frac{4}{11} \][/tex]
[tex]\[ x = \pm \sqrt{-\frac{4}{11}} \][/tex]
Como [tex]\( -\frac{4}{11} \)[/tex] é um número negativo, a raiz quadrada resultará em números complexos. Contudo, como a questão pede apenas pelos valores reais de [tex]\( x \)[/tex], podemos desconsiderar esta solução complexa.
Portanto, os valores reais de [tex]\( x \)[/tex] para os quais as expressões são iguais são:
[tex]\[ x = -1 \text{ e } x = 1 \][/tex]
