Answer :
Para encontrar la solución principal [tex]\( e^{Bt} \)[/tex] del sistema [tex]\( x'(t) = Bx(t) \)[/tex] donde [tex]\( B = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 9 & 7 \end{pmatrix} \)[/tex], necesitamos seguir una serie de pasos.
### Paso 1: Encontrar los autovalores y autovectores de [tex]\( B \)[/tex]
La ecuación característica de [tex]\( B \)[/tex] es:
[tex]\[ \det(B - \lambda I) = 0 \][/tex]
Donde [tex]\( I \)[/tex] es la matriz identidad [tex]\( 2 \times 2 \)[/tex] y [tex]\(\lambda \)[/tex] es un autovalor. Calculamos:
[tex]\[ \det \begin{pmatrix} 7 - \lambda & 1 \\ 9 & 7 - \lambda \end{pmatrix} = (7 - \lambda)(7 - \lambda) - 9 \cdot 1 \][/tex]
[tex]\[ = (7 - \lambda)^2 - 9 \][/tex]
[tex]\[ = \lambda^2 - 14\lambda + 49 - 9 \][/tex]
[tex]\[ = \lambda^2 - 14\lambda + 40 = 0 \][/tex]
Resolviendo la ecuación cuadrática:
[tex]\[ \lambda^2 - 14\lambda + 40 = 0 \][/tex]
Usando la fórmula cuadrática, [tex]\(\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)[/tex] donde [tex]\(a=1\)[/tex], [tex]\(b=-14\)[/tex] y [tex]\(c=40\)[/tex]:
[tex]\[ \lambda = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 160}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{36}}{2} \][/tex]
[tex]\[ = \frac{14 \pm 6}{2} \][/tex]
Por lo tanto, los autovalores son:
[tex]\[ \lambda_1 = 10 \][/tex]
[tex]\[ \lambda_2 = 4 \][/tex]
### Paso 2: Encontrar los autovectores correspondientes
Para [tex]\(\lambda_1 = 10\)[/tex]:
[tex]\[ (B - 10I)v = 0 \][/tex]
[tex]\[ \begin{pmatrix} 7 - 10 & 1 \\ 9 & 7 - 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 9 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \][/tex]
Resolviendo el sistema lineal, obtenemos:
[tex]\[ -3v_1 + v_2 = 0 \][/tex]
[tex]\[ v_2 = 3v_1 \][/tex]
Un autovector correspondiente es:
[tex]\[ v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \][/tex]
Para [tex]\(\lambda_2 = 4\)[/tex]:
[tex]\[ (B - 4I)v = 0 \][/tex]
[tex]\[ \begin{pmatrix} 7 - 4 & 1 \\ 9 & 7 - 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 9 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \][/tex]
Resolviendo el sistema lineal, obtenemos:
[tex]\[ 3v_1 + v_2 = 0 \][/tex]
[tex]\[ v_2 = -3v_1 \][/tex]
Un autovector correspondiente es:
[tex]\[ v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} \][/tex]
### Paso 3: Formar la matriz [tex]\( P \)[/tex] y su inversa [tex]\( P^{-1} \)[/tex]
La matriz [tex]\( P \)[/tex] se forma usando los autovectores como columnas:
[tex]\[ P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} \][/tex]
Para encontrar [tex]\( P^{-1} \)[/tex]:
[tex]\[ P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \][/tex]
Donde para [tex]\( P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} \)[/tex]:
[tex]\[ \det(P) = (1)(-3) - (1)(3) = -3 - 3 = -6 \][/tex]
[tex]\[ P^{-1} = \frac{1}{-6} \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \end{pmatrix} \][/tex]
### Paso 4: Formar la matriz diagonal [tex]\( D \)[/tex] y calcular [tex]\( e^{Bt} \)[/tex]
La matriz diagonal [tex]\( D \)[/tex] es:
[tex]\[ D = \begin{pmatrix} e^{10t} & 0 \\ 0 & e^{4t} \end{pmatrix} \][/tex]
La solución general es:
[tex]\[ e^{Bt} = P \cdot D \cdot P^{-1} \][/tex]
[tex]\[ e^{Bt} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{10t} & 0 \\ 0 & e^{4t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \end{pmatrix} \][/tex]
### Paso 5: Resultado final
El resultado es:
[tex]\[ P \begin{pmatrix} e^{10t} & 0 \\ 0 & e^{4t} \end{pmatrix} P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{10t} & 0 \\ 0 & e^{4t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \end{pmatrix} \][/tex]
Por lo cual, la opción correcta es:
[tex]\[ P \begin{pmatrix} e^{10t} & 0 \\ 0 & e^{4t} \end{pmatrix} P^{-1} \][/tex]
### Paso 1: Encontrar los autovalores y autovectores de [tex]\( B \)[/tex]
La ecuación característica de [tex]\( B \)[/tex] es:
[tex]\[ \det(B - \lambda I) = 0 \][/tex]
Donde [tex]\( I \)[/tex] es la matriz identidad [tex]\( 2 \times 2 \)[/tex] y [tex]\(\lambda \)[/tex] es un autovalor. Calculamos:
[tex]\[ \det \begin{pmatrix} 7 - \lambda & 1 \\ 9 & 7 - \lambda \end{pmatrix} = (7 - \lambda)(7 - \lambda) - 9 \cdot 1 \][/tex]
[tex]\[ = (7 - \lambda)^2 - 9 \][/tex]
[tex]\[ = \lambda^2 - 14\lambda + 49 - 9 \][/tex]
[tex]\[ = \lambda^2 - 14\lambda + 40 = 0 \][/tex]
Resolviendo la ecuación cuadrática:
[tex]\[ \lambda^2 - 14\lambda + 40 = 0 \][/tex]
Usando la fórmula cuadrática, [tex]\(\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)[/tex] donde [tex]\(a=1\)[/tex], [tex]\(b=-14\)[/tex] y [tex]\(c=40\)[/tex]:
[tex]\[ \lambda = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 160}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{36}}{2} \][/tex]
[tex]\[ = \frac{14 \pm 6}{2} \][/tex]
Por lo tanto, los autovalores son:
[tex]\[ \lambda_1 = 10 \][/tex]
[tex]\[ \lambda_2 = 4 \][/tex]
### Paso 2: Encontrar los autovectores correspondientes
Para [tex]\(\lambda_1 = 10\)[/tex]:
[tex]\[ (B - 10I)v = 0 \][/tex]
[tex]\[ \begin{pmatrix} 7 - 10 & 1 \\ 9 & 7 - 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 9 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \][/tex]
Resolviendo el sistema lineal, obtenemos:
[tex]\[ -3v_1 + v_2 = 0 \][/tex]
[tex]\[ v_2 = 3v_1 \][/tex]
Un autovector correspondiente es:
[tex]\[ v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \][/tex]
Para [tex]\(\lambda_2 = 4\)[/tex]:
[tex]\[ (B - 4I)v = 0 \][/tex]
[tex]\[ \begin{pmatrix} 7 - 4 & 1 \\ 9 & 7 - 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 9 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \][/tex]
Resolviendo el sistema lineal, obtenemos:
[tex]\[ 3v_1 + v_2 = 0 \][/tex]
[tex]\[ v_2 = -3v_1 \][/tex]
Un autovector correspondiente es:
[tex]\[ v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} \][/tex]
### Paso 3: Formar la matriz [tex]\( P \)[/tex] y su inversa [tex]\( P^{-1} \)[/tex]
La matriz [tex]\( P \)[/tex] se forma usando los autovectores como columnas:
[tex]\[ P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} \][/tex]
Para encontrar [tex]\( P^{-1} \)[/tex]:
[tex]\[ P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \][/tex]
Donde para [tex]\( P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} \)[/tex]:
[tex]\[ \det(P) = (1)(-3) - (1)(3) = -3 - 3 = -6 \][/tex]
[tex]\[ P^{-1} = \frac{1}{-6} \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \end{pmatrix} \][/tex]
### Paso 4: Formar la matriz diagonal [tex]\( D \)[/tex] y calcular [tex]\( e^{Bt} \)[/tex]
La matriz diagonal [tex]\( D \)[/tex] es:
[tex]\[ D = \begin{pmatrix} e^{10t} & 0 \\ 0 & e^{4t} \end{pmatrix} \][/tex]
La solución general es:
[tex]\[ e^{Bt} = P \cdot D \cdot P^{-1} \][/tex]
[tex]\[ e^{Bt} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{10t} & 0 \\ 0 & e^{4t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \end{pmatrix} \][/tex]
### Paso 5: Resultado final
El resultado es:
[tex]\[ P \begin{pmatrix} e^{10t} & 0 \\ 0 & e^{4t} \end{pmatrix} P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{10t} & 0 \\ 0 & e^{4t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \end{pmatrix} \][/tex]
Por lo cual, la opción correcta es:
[tex]\[ P \begin{pmatrix} e^{10t} & 0 \\ 0 & e^{4t} \end{pmatrix} P^{-1} \][/tex]
