Para determinar el dominio de la función [tex]\( f(x) = \frac{2}{x+1} \)[/tex], debemos encontrar los valores de [tex]\( x \)[/tex] para los cuales la función está definida. Recordemos que una función de la forma [tex]\( \frac{g(x)}{h(x)} \)[/tex] está definida siempre y cuando el denominador [tex]\( h(x) \)[/tex] no sea igual a cero.
Sigamos los pasos a continuación para encontrar el dominio de la función [tex]\( f(x) = \frac{2}{x+1} \)[/tex]:
1. Identificar el denominador: La función [tex]\( f(x) = \frac{2}{x+1} \)[/tex] tiene un denominador [tex]\( x+1 \)[/tex].
2. Establecer la condición para el dominio: Para que la función esté definida, el denominador no debe ser igual a cero. Es decir, necesitamos que:
[tex]\[
x + 1 \neq 0
\][/tex]
3. Resolver la ecuación para encontrar los valores excluidos:
[tex]\[
x + 1 = 0
\][/tex]
Despejamos [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
x = -1
\][/tex]
4. Conclusión: La función no está definida cuando [tex]\( x = -1 \)[/tex] porque en este punto el denominador se hace cero, lo cual provocaría una indeterminación matemática (división por cero).
Entonces, el dominio de la función [tex]\( f(x) = \frac{2}{x+1} \)[/tex] es todos los números reales excepto [tex]\( x = -1 \)[/tex].
En notación de conjuntos, podemos expresar el dominio así:
[tex]\[
D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1\}
\][/tex]
O en notación de intervalos:
[tex]\[
D_f = (-\infty, -1) \cup (-1, \infty)
\][/tex]
Por lo tanto, el dominio de la función [tex]\( f(x) = \frac{2}{x+1} \)[/tex] excluye el valor [tex]\( x = -1 \)[/tex].
