Claro, vamos a dividir el polinomio [tex]\( 5x^4 + 10x^3 - 6x - 12 \)[/tex] entre [tex]\( x + 2 \)[/tex]. El objetivo es encontrar el cociente y el residuo de esta división polinomial.
### Paso 1: Setup División Polinómica
Tenemos nuestros polinomios:
Dividendo: [tex]\( 5x^4 + 10x^3 + 0x^2 - 6x - 12 \)[/tex] (notamos que no hay término de [tex]\( x^2 \)[/tex], entonces su coeficiente es 0).
Divisor: [tex]\( x + 2 \)[/tex].
### Paso 2: División del Término de Grado Mayor
Dividimos el primer término del dividendo por el primer término del divisor:
[tex]\[
\frac{5x^4}{x} = 5x^3
\][/tex]
### Paso 3: Multiplicar y Restar
Multiplicamos [tex]\( 5x^3 \)[/tex] por [tex]\( x + 2 \)[/tex]:
[tex]\[
5x^3 \cdot (x + 2) = 5x^4 + 10x^3
\][/tex]
Restamos este resultado del dividendo:
[tex]\[
(5x^4 + 10x^3 + 0x^2 - 6x - 12) - (5x^4 + 10x^3) = 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 - 6x - 12
\][/tex]
Nos queda:
[tex]\[
0x^2 - 6x - 12
\][/tex]
### Paso 4: Repetir el Proceso
Continuamos con el siguiente término de mayor grado en el residuo, aquí no hay coeficientes de [tex]\( x^2 \)[/tex].
Dividimos el primer término del nuevo dividendo por el primer término del divisor [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{0x^2}{x} = 0x
\][/tex]
### Paso 5: Multiplicar y Restar
Multiplicamos [tex]\( 0 \)[/tex] por [tex]\( x + 2 \)[/tex]:
[tex]\[
0 \cdot (x + 2) = 0
\][/tex]
De nuevo restamos del dividendo:
[tex]\[
(0x^2 - 6x - 12) - 0 = -6x - 12
\][/tex]
### Paso 6: Continuar el Proceso
Seguimos repitiendo este proceso hasta llegar al término constante:
[tex]\[
\frac{-6x}{x} = -6
\][/tex]
Multiplicamos y restamos:
[tex]\[
-6 \cdot (x + 2) = -6x - 12
\][/tex]
Restamos:
[tex]\[
(-6x - 12) - (-6x - 12) = 0
\][/tex]
Así, el nuevo residuo es 0.
### Resultado Final
El cociente de la división polinómica [tex]\( (5x^4 + 10x^3 - 6x - 12) \div (x + 2) \)[/tex] es [tex]\( 5x^3 + 0x^2 + 0x - 6 \)[/tex].
El residuo es [tex]\( 0 \)[/tex].
En otras palabras:
Cociente: [tex]\( 5x^3 + 0x^2 + 0x - 6 \)[/tex]
Residuo: [tex]\( 0 \)[/tex]
El resultado es, por lo tanto:
[tex]\[
\left(5 x^4+10 x^3-6 x-12\right) \div(x+2)
\][/tex]
Cociente es [tex]\( \left(5x^3+0x^2+0x-6 \right) \)[/tex] y el residuo es [tex]\(0 \)[/tex].
