Claro, vamos a resolver paso a paso las preguntas planteadas en relación con las funciones [tex]\( m(x) = \frac{x-4}{9} \)[/tex] y [tex]\( n(x) = 9x + 4 \)[/tex].
### ¿Cuál es el valor de [tex]\( m(n(3)) \)[/tex] ?
Primero, calculamos [tex]\( n(3) \)[/tex]:
[tex]\[
n(3) = 9 \cdot 3 + 4 = 27 + 4 = 31
\][/tex]
Luego, usamos este resultado en la función [tex]\( m \)[/tex]:
[tex]\[
m(n(3)) = m(31) = \frac{31 - 4}{9} = \frac{27}{9} = 3.0
\][/tex]
Entonces, el valor de [tex]\( m(n(3)) \)[/tex] es:
[tex]\[
m(n(3)) = 3.0
\][/tex]
### ¿Cuál es el valor de [tex]\( n(m(-2)) \)[/tex] ?
Primero, calculamos [tex]\( m(-2) \)[/tex]:
[tex]\[
m(-2) = \frac{-2 - 4}{9} = \frac{-6}{9} = -0.6666666666666666
\][/tex]
Luego, usamos este resultado en la función [tex]\( n \)[/tex]:
[tex]\[
n(m(-2)) = n(-0.6666666666666666) = 9 \cdot (-0.6666666666666666) + 4 = -6 + 4 = -2.0
\][/tex]
Entonces, el valor de [tex]\( n(m(-2)) \)[/tex] es:
[tex]\[
n(m(-2)) = -2.0
\][/tex]
### A partir solo de las composiciones anteriores, ¿es posible que [tex]\( m \)[/tex] y [tex]\( n \)[/tex] sean inversas?
Para que dos funciones [tex]\( m \)[/tex] y [tex]\( n \)[/tex] sean inversas, deben cumplirse dos condiciones para cualquier valor de [tex]\( x \)[/tex]:
1. [tex]\( m(n(x)) = x \)[/tex]
2. [tex]\( n(m(x)) = x \)[/tex]
En nuestro caso, hemos calculado:
[tex]\[
m(n(3)) = 3 \quad \text{y} \quad n(m(-2)) = -2
\][/tex]
Estas composiciones para los valores específicos de 3 y -2 cumplen que:
[tex]\[
m(n(3)) = 3 \quad \text{y} \quad n(m(-2)) = -2
\][/tex]
Sin embargo, solo estos cálculos con valores específicos no son suficientes para confirmar que estas funciones son inversas en general. Debemos verificar que las composiciones [tex]\( m(n(x)) \)[/tex] y [tex]\( n(m(x)) \)[/tex] igualan [tex]\( x \)[/tex] para cualquier valor de [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
m(n(x)) = \frac{(9x + 4) - 4}{9} = \frac{9x}{9} = x
\][/tex]
[tex]\[
n(m(x)) = 9 \left(\frac{x - 4}{9}\right) + 4 = x - 4 + 4 = x
\][/tex]
Así, podemos confirmar que [tex]\( m(x) \)[/tex] y [tex]\( n(x) \)[/tex] son inversas desde la verificación general, pero no solo a partir de los resultados específicos anteriormente calculados.
