Para determinar los valores de [tex]\( k \)[/tex] que harán el sistema de ecuaciones incompatible, consideremos el sistema dado:
[tex]\[
\left\{\begin{array}{l}
(k+1) x + 4 y = 3 \\
2 x + (k-1) y = 1
\end{array}\right.
\][/tex]
Un sistema de ecuaciones lineales es incompatible si no tiene soluciones. Esto ocurre cuando el determinante de la matriz de coeficientes es cero y el determinante de la matriz aumentada no es cero.
Primero, construimos la matriz de coeficientes [tex]\( A \)[/tex] y calculamos su determinante:
[tex]\[
A = \begin{pmatrix}
k+1 & 4 \\
2 & k-1
\end{pmatrix}
\][/tex]
El determinante de [tex]\( A \)[/tex] es:
[tex]\[
\det(A) = (k+1)(k-1) - (2 \cdot 4) = k^2 - 1 - 8 = k^2 - 9
\][/tex]
Para que el sistema sea incompatible, el determinante de [tex]\( A \)[/tex] debe ser igual a cero:
[tex]\[
k^2 - 9 = 0
\][/tex]
Resolviendo la ecuación cuadrática:
[tex]\[
k^2 = 9
\][/tex]
[tex]\[
k = \pm 3
\][/tex]
Ahora tenemos dos posibles valores de [tex]\( k \)[/tex]: [tex]\( k = 3 \)[/tex] y [tex]\( k = -3 \)[/tex]. Para que el sistema sea incompatible, debemos verificar que el determinante de la matriz aumentada no sea cero para estos valores de [tex]\( k \)[/tex].
Construimos la matriz aumentada [tex]\( B \)[/tex]:
[tex]\[
B = \begin{pmatrix}
k+1 & 4 & 3 \\
2 & k-1 & 1
\end{pmatrix}
\][/tex]
Calculamos el determinante de la matriz aumentada [tex]\( B \)[/tex] para cada valor posible de [tex]\( k \)[/tex]:
- Para [tex]\( k = 3 \)[/tex]:
[tex]\[
B = \begin{pmatrix}
3+1 & 4 & 3 \\
2 & 3-1 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 & 4 & 3 \\
2 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\][/tex]
El determinante de esta matriz es:
[tex]\[
\det(B) = 4 \cdot 2 - 4 \cdot 2 = 8 - 8 = 0
\][/tex]
- Para [tex]\( k = -3 \)[/tex]:
[tex]\[
B = \begin{pmatrix}
-3+1 & 4 & 3 \\
2 & -3-1 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-2 & 4 & 3 \\
2 & -4 & 1
\end{pmatrix}
\][/tex]
El determinante de esta matriz es:
[tex]\[
\det(B) = (-2 \cdot -4) - (4 \cdot 2) = 8 - 8 = 0
\][/tex]
Ambos determinantes son cero, lo cual indica que el sistema no es incompatible para ningún valor de [tex]\( k \)[/tex], ya que el determinante de la matriz aumentada nunca es diferente de cero cuando la matriz de coeficientes es singular.
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
e) [tex]\( \phi \)[/tex] (no hay valores de [tex]\( k \)[/tex] que hagan el sistema incompatible).
