Vamos a resolver el problema paso a paso utilizando los datos proporcionados en la tabla y algunas consideraciones básicas de frecuencias y alturas.
Dada la siguiente tabla de frecuencias:
| Intervalo [tex]\( I _{ i } \)[/tex] | Frecuencia [tex]\( f _{ i } \)[/tex] | Altura [tex]\( h _{ i } \)[/tex] |
|-------------------------|---------------------------|-----------------------|
| [tex]\([125 ; 135)\)[/tex] | [tex]\( f_1 \)[/tex] | [tex]\( 4 / a \)[/tex] |
| [tex]\([135 ; 145)\)[/tex] | [tex]\( f_2 \)[/tex] | [tex]\( 5 / a \)[/tex] |
| [tex]\([145 ; 155)\)[/tex] | [tex]\( f_3 \)[/tex] | [tex]\( 7 / a \)[/tex] |
| [tex]\([155 ; 165)\)[/tex] | [tex]\( f_4 \)[/tex] | [tex]\( 6 / a \)[/tex] |
| [tex]\([165 ; 175]\)[/tex] | [tex]\( f_5 \)[/tex] | [tex]\( 3 / a \)[/tex] |
Paso 1: Calcular la suma de las alturas
Primero, sumamos todas las alturas [tex]\( h_i \)[/tex]:
[tex]\[
h_1 + h_2 + h_3 + h_4 + h_5 = 4 + 5 + 7 + 6 + 3 = 25
\][/tex]
Paso 2: Encontrar el valor de [tex]\( a \)[/tex]
Sabemos que la suma total de las frecuencias es igual a 1. Además, la relación entre frecuencia y altura es [tex]\( h_i = \frac{f_i}{a} \)[/tex], por lo tanto [tex]\( f_i = h_i \cdot a \)[/tex].
Se tiene que:
[tex]\[
\sum_{i=1}^{5} f_i = 1
\][/tex]
Sustituyendo las alturas:
[tex]\[
h_1 \cdot a + h_2 \cdot a + h_3 \cdot a + h_4 \cdot a + h_5 \cdot a = 1
\][/tex]
Factorizando [tex]\( a \)[/tex]:
[tex]\[
a(h_1 + h_2 + h_3 + h_4 + h_5) = 1 \Rightarrow a \cdot 25 = 1
\][/tex]
Despejando [tex]\( a \)[/tex]:
[tex]\[
a = \frac{1}{25} = 0.04
\][/tex]
Paso 3: Calcular las frecuencias [tex]\( f_1 \)[/tex], [tex]\( f_3 \)[/tex] y [tex]\( f_5 \)[/tex]
Usamos la fórmula [tex]\( f_i = h_i \cdot a \)[/tex] para obtener [tex]\( f_1 \)[/tex], [tex]\( f_3 \)[/tex] y [tex]\( f_5 \)[/tex]:
[tex]\[
f_1 = h_1 \cdot a = 4 \cdot 0.04 = 0.16
\][/tex]
[tex]\[
f_3 = h_3 \cdot a = 7 \cdot 0.04 = 0.28
\][/tex]
[tex]\[
f_5 = h_5 \cdot a = 3 \cdot 0.04 = 0.12
\][/tex]
Paso 4: Sumar las frecuencias
Finalmente, sumamos las frecuencias [tex]\( f_1 \)[/tex], [tex]\( f_3 \)[/tex] y [tex]\( f_5 \)[/tex]:
[tex]\[
f_1 + f_3 + f_5 = 0.16 + 0.28 + 0.12 = 0.56
\][/tex]
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
[tex]\[
\boxed{0.56}
\][/tex]
