Para resolver la pregunta dada, primero necesitamos entender y analizar la ecuación proporcionada, que incluye bases numéricas y operaciones algebraicas.
### Descomponiendo la Expresión en Base 9
Se nos da la expresión [tex]\( \overline{3yy}_{(9)} \)[/tex] en base 9. Debemos convertir esta notación en su valor equivalente en base 10.
En base 9, los coeficientes de la expresión [tex]\( 3yy \)[/tex] se interpretan como:
[tex]\[ 3 \cdot 9^2 + y \cdot 9 + y \][/tex]
Calculamos cada término:
- El primer término es [tex]\( 3 \cdot 81 = 243 \)[/tex]
- El segundo término es [tex]\( y \cdot 9 \)[/tex]
- El tercer término es [tex]\( y \)[/tex]
Por lo tanto, la expresión en base 10 es:
[tex]\[ 243 + 9y + y = 243 + 10y \][/tex]
### Descomponiendo la otra parte de la ecuación
La ecuación proporcionada es:
[tex]\[ \overline{3yy}_{(9)} = \overline{(y+1)(y+1)^3} \][/tex]
Por lo tanto, partimos la ecuación en partes entendibles y realizamos la transformación:
[tex]\[ 243 + 10y = (y+1)(y+1)^3 \][/tex]
Necesitamos expandir el lado derecho para resolver la ecuación.
Primero, calculamos [tex]\( (y+1)^3 \)[/tex]:
[tex]\[ (y+1)^3 = y^3 + 3y^2 + 3y + 1 \][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[ (y+1)(y+1)^3 = (y+1)(y^3 + 3y^2 + 3y + 1) \][/tex]
Expandiendo esta multiplicación, obtenemos:
[tex]\[ (y^3 + 3y^2 + 3y + 1)(y + 1) = y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1 \][/tex]
### Igualando y Resolviendo la ecuación
Entonces, queremos igualar:
[tex]\[ 243 + 10y = y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1 \][/tex]
Simplificamos la ecuación para poner todo en un solo lado:
[tex]\[ y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1 - 243 - 10y = 0 \][/tex]
[tex]\[ y^4 + 4y^3 + 6y^2 - 6y - 242 = 0 \][/tex]
### Resolviendo la Ecuación
Esta es una ecuación polinómica de cuarto grado. Para encontrar el valor de [tex]\( y \)[/tex], buscamos soluciones factorizando o utilizando métodos algebraicos como la prueba de raíces racionales y técnicas de factorización.
Sin embargo, la factorización directa o raíz exacta puede ser tediosa sin herramientas computacionales. Notando que esta estructura puede tener una solución de y por simple inspección:
Evaluando un par de valores podemos intentar:
Para [tex]\( y = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ y^4 + 4y^3 + 6y^2 - 6y - 242 \][/tex]
[tex]\[ 3^4 + 4(3^3) + 6(3^2) - 6(3) - 242 \][/tex]
[tex]\[ 81 + 108 + 54 - 18 - 242 \][/tex]
[tex]\[ 243 - 243 = 0 \][/tex]
Nos damos cuenta de que [tex]\( y = 3 \)[/tex] es una solución.
Por lo tanto, el valor de [tex]\( y \)[/tex] que satisface la ecuación es [tex]\( \boxed{3} \)[/tex].
