Para calcular el volumen de una caja con base cuadrangular cuya longitud de la base y altura están dados por las expresiones [tex]\( (x + 4) \)[/tex] y [tex]\( (2x - 4) \)[/tex] respectivamente, primero debemos identificar cómo se determina el volumen de tal caja.
El volumen [tex]\( V \)[/tex] de una caja cuya base es un cuadrado y cuya altura variará en función de las expresiones proporcionadas, se determina mediante la fórmula:
[tex]\[ V = \text{(área de la base)} \times \text{(altura)} \][/tex]
1. Calcular la longitud de la base:
La base es un cuadrado de lado [tex]\( (x + 4) \)[/tex], por lo que el área de la base es:
[tex]\[ \text{Área de la base} = (x + 4)^2 \][/tex]
2. Identificar la altura:
La altura de la caja es:
[tex]\[ \text{Altura} = 2x - 4 \][/tex]
3. Calcular el volumen:
Multiplicamos el área de la base por la altura para obtener el volumen:
[tex]\[ V = (x + 4)^2 \times (2x - 4) \][/tex]
Expandiendo y simplificando la expresión:
[tex]\[ V = (x + 4)^2 \times (2x - 4) \][/tex]
4. Simplificar la expresión del volumen:
La expresión del volumen simplificado es:
[tex]\[ V = 2(x - 2)(x + 4)^2 \][/tex]
5. Evaluar el volumen cuando [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
Sustituyendo [tex]\( x = 0 \)[/tex] en la expresión simplificada del volumen:
[tex]\[ V = 2(0 - 2)(0 + 4)^2 \][/tex]
[tex]\[ V = 2(-2)(4)^2 \][/tex]
[tex]\[ V = 2(-2)(16) \][/tex]
[tex]\[ V = -64 \][/tex]
Por tanto, el volumen de la caja cuando [tex]\( x = 0 \)[/tex] es:
[tex]\[ V = -64 \][/tex]
Finalmente, la respuesta a la pregunta es:
[tex]\[ -64 \][/tex]
Las opciones proporcionadas no se relacionan directamente con los cálculos realizados, por lo que concluyo que ninguna de las opciones mencionadas coincide con el volumen de la caja calculado.
