Claro, vamos a resolver paso a paso el problema de construcción de una pecera en forma de prisma de base cuadrada con un volumen de 108 m³. Sabemos que el lado de la base es el doble de la altura. Queremos encontrar el área de superficie total de la pecera.
### Paso 1: Defina las variables
- Volumen de la pecera: [tex]\( V = 108 \)[/tex] m³
- Relación entre el lado de la base (s) y la altura (h): [tex]\( s = 2h \)[/tex]
### Paso 2: Encuentra la altura
Sabemos que el volumen de un prisma rectangular se calcula como el área de la base multiplicada por la altura. En este caso, el área de la base es un cuadrado, por lo que podemos usar la fórmula del volumen:
[tex]\[ V = \text{Área de la base} \times \text{Altura} \][/tex]
Primero expresamos el área de la base como [tex]\( s^2 \)[/tex]:
[tex]\[ V = (2h)^2 \times h \][/tex]
[tex]\[ 108 = 4h^2 \times h \][/tex]
[tex]\[ 108 = 4h^3 \][/tex]
Despejamos [tex]\( h \)[/tex] dividiendo ambos lados entre 4 y luego obtenemos la raíz cúbica:
[tex]\[ h^3 = \frac{108}{4} \][/tex]
[tex]\[ h^3 = 27 \][/tex]
[tex]\[ h = \sqrt[3]{27} \][/tex]
[tex]\[ h = 3 \][/tex]
### Paso 3: Calcula el lado de la base
Sabiendo que [tex]\( s = 2h \)[/tex], sustituimos la altura encontrada:
[tex]\[ s = 2 \times 3 = 6 \][/tex]
### Paso 4: Calcula el área de superficie total
La pecera no tiene tapa, así que debemos considerar el área del fondo y las áreas de las cuatro paredes laterales.
- Área del fondo (cuadrado): [tex]\( s^2 \)[/tex]
[tex]\[ \text{Área del fondo} = 6 \times 6 = 36 \text{ m}^2 \][/tex]
- Área de las cuatro paredes laterales (cada una tiene un área de [tex]\( s \times h \)[/tex]):
[tex]\[ \text{Área de cada pared lateral} = 6 \times 3 = 18 \text{ m}^2 \][/tex]
[tex]\[ \text{Área de las 4 paredes laterales} = 4 \times 18 = 72 \text{ m}^2 \][/tex]
- Área de superficie total:
[tex]\[ \text{Área de superficie total} = \text{Área del fondo} + \text{Área de las cuatro paredes laterales} \][/tex]
[tex]\[ \text{Área de superficie total} = 36 + 72 = 108 \text{ m}^2 \][/tex]
### Respuesta
El área de superficie total de la pecera es [tex]\( 108 \text{ m}^2 \)[/tex].
Así que la opción correcta es:
[tex]\( \boxed{108 \text{ m}^2} \)[/tex].
