¡Claro! Vamos a resolver cada una de las multiplicaciones de polinomios paso a paso.
a. [tex]\((x+1)(x+42)\)[/tex]
Primero, aplicamos la propiedad distributiva (también conocida como método FOIL para binomios):
[tex]\[
(x + 1)(x + 42) = x(x + 42) + 1(x + 42)
\][/tex]
Desarrollando:
[tex]\[
x^2 + 42x + x + 42
\][/tex]
Juntamos los términos semejantes:
[tex]\[
x^2 + 43x + 42
\][/tex]
b. [tex]\((x-2)(x-5)\)[/tex]
Aplicamos la propiedad distributiva:
[tex]\[
(x - 2)(x - 5) = x(x - 5) - 2(x - 5)
\][/tex]
Desarrollando:
[tex]\[
x^2 - 5x - 2x + 10
\][/tex]
Juntamos los términos semejantes:
[tex]\[
x^2 - 7x + 10
\][/tex]
c. [tex]\((x-2)\left(x^4 - x^2 + 3\right)\)[/tex]
Aplicamos la propiedad distributiva:
[tex]\[
(x - 2)(x^4 - x^2 + 3) = x(x^4 - x^2 + 3) - 2(x^4 - x^2 + 3)
\][/tex]
Desarrollando:
[tex]\[
x^5 - x^3 + 3x - 2x^4 + 2x^2 - 6
\][/tex]
Ordenamos y juntamos términos semejantes:
[tex]\[
x^5 - 2x^4 - x^3 + 2x^2 + 3x - 6
\][/tex]
d. [tex]\((x+2)(x-7)\)[/tex]
Aplicamos la propiedad distributiva:
[tex]\[
(x + 2)(x - 7) = x(x - 7) + 2(x - 7)
\][/tex]
Desarrollando:
[tex]\[
x^2 - 7x + 2x - 14
\][/tex]
Juntamos los términos semejantes:
[tex]\[
x^2 - 5x - 14
\][/tex]
e. [tex]\(\left(x^3 + x\right)\left(x^3 + x + x^5\right)\)[/tex]
Aplicamos la propiedad distributiva:
[tex]\[
(x^3 + x)(x^5 + x^3 + x) = x^3(x^5 + x^3 + x) + x(x^5 + x^3 + x)
\][/tex]
Desarrollando:
[tex]\[
x^8 + x^6 + x^4 + x^6 + x^4 + x^2
\][/tex]
Juntamos términos semejantes:
[tex]\[
x^8 + 2x^6 + 2x^4 + x^2
\][/tex]
f. [tex]\((x+1)\left(x^2 + x + 2\right)\)[/tex]
Aplicamos la propiedad distributiva:
[tex]\[
(x + 1)(x^2 + x + 2) = x(x^2 + x + 2) + 1(x^2 + x + 2)
\][/tex]
Desarrollando:
[tex]\[
x^3 + x^2 + 2x + x^2 + x + 2
\][/tex]
Juntamos los términos semejantes:
[tex]\[
x^3 + 2x^2 + 3x + 2
\][/tex]
g. [tex]\((xy + 1)\left(x^2y + xy^2\right)\)[/tex]
Aplicamos la propiedad distributiva:
[tex]\[
(xy + 1)(x^2y + xy^2) = xy(x^2y + xy^2) + 1(x^2y + xy^2)
\][/tex]
Desarrollando:
[tex]\[
x^3y^2 + x^2y^3 + x^2y + xy^2
\][/tex]
Juntamos los términos semejantes:
[tex]\[
x^3y^2 + x^2y^3 + x^2y + xy^2
\][/tex]
¡Y terminamos! Aquí tienes todos los resultados de las multiplicaciones de los polinomios dados.
