Claro, vamos a resolver este problema paso a paso.
### Paso 1: Encuentra las intersecciones de la recta con los ejes de coordenadas
La ecuación de la recta es [tex]\( y = 2x + 1 \)[/tex].
#### Intersección con el eje [tex]\(x\)[/tex] (donde [tex]\(y = 0\)[/tex]):
Para encontrar la intersección con el eje [tex]\(x\)[/tex], establecemos [tex]\( y = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ 0 = 2x + 1 \][/tex]
Despejamos [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ 2x = -1 \][/tex]
[tex]\[ x = -\frac{1}{2} \][/tex]
Entonces, el punto de intersección con el eje [tex]\(x\)[/tex] es [tex]\(\left(-\frac{1}{2}, 0\right)\)[/tex].
#### Intersección con el eje [tex]\(y\)[/tex] (donde [tex]\(x = 0\)[/tex]):
Para encontrar la intersección con el eje [tex]\(y\)[/tex], establecemos [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2(0) + 1 \][/tex]
[tex]\[ y = 1 \][/tex]
Entonces, el punto de intersección con el eje [tex]\(y\)[/tex] es [tex]\((0, 1)\)[/tex].
### Paso 2: Calcular la distancia entre los dos puntos de intersección
Tenemos dos puntos de intersección:
- [tex]\( A\left(-\frac{1}{2}, 0\right) \)[/tex]
- [tex]\( B(0, 1) \)[/tex]
Para encontrar la distancia entre estos dos puntos, utilizamos la fórmula de la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano:
[tex]\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \][/tex]
Sustituyendo [tex]\( A\left(x_1, y_1\right) = \left(-\frac{1}{2}, 0\right) \)[/tex] y [tex]\( B\left(x_2, y_2\right) = (0, 1) \)[/tex]:
[tex]\[ d = \sqrt{\left(0 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right)^2 + (1 - 0)^2} \][/tex]
[tex]\[ d = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2} \][/tex]
[tex]\[ d = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} \][/tex]
[tex]\[ d = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}} \][/tex]
[tex]\[ d = \sqrt{\frac{5}{4}} \][/tex]
[tex]\[ d = \frac{\sqrt{5}}{2} \][/tex]
### Paso 3: Visualiza la recta y los puntos de intersección
Para dibujar la recta [tex]\( y = 2x + 1 \)[/tex] y mostrar los dos puntos de intersección:
1. La recta se intercepta con el eje [tex]\(x\)[/tex] en [tex]\(\left(-\frac{1}{2}, 0\right)\)[/tex].
2. La recta se intercepta con el eje [tex]\(y\)[/tex] en [tex]\((0, 1)\)[/tex].
Así la recta se vería de la siguiente manera en un gráfico:
```plaintext
y
|
1 | (0,1)
|
|
-----|---------------> x
| (-1/2,0)
-1/2 |
|
```
El punto [tex]\((0, 1)\)[/tex] es donde la recta intercepta el eje [tex]\(y\)[/tex] y el punto [tex]\(\left(-\frac{1}{2}, 0\right)\)[/tex] es donde intercepta el eje [tex]\(x\)[/tex]. La distancia entre estos dos puntos es de aproximadamente 1.118.
Por lo tanto, la distancia entre los dos puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas es aproximadamente 1.118.
