Claro, con gusto te ayudo a verificar las hipótesis del teorema de Rolle y a encontrar los números [tex]\( c \)[/tex] que satisfacen su conclusión para la función [tex]\( f(x) = 5 - 12x + 3x^2 \)[/tex] en el intervalo [tex]\([1, 3]\)[/tex].
### Paso 1: Verificar las hipótesis del teorema de Rolle
El teorema de Rolle establece que si una función [tex]\( f \)[/tex] cumple las siguientes tres condiciones:
1. [tex]\( f \)[/tex] es continua en el intervalo cerrado [tex]\([a, b]\)[/tex].
2. [tex]\( f \)[/tex] es diferenciable en el intervalo abierto [tex]\((a, b)\)[/tex].
3. [tex]\( f(a) = f(b) \)[/tex].
Entonces, existe al menos un número [tex]\( c \)[/tex] en el intervalo abierto [tex]\((a, b)\)[/tex] tal que [tex]\( f'(c) = 0 \)[/tex].
#### Hipótesis 1: Continuidad en [tex]\([1, 3]\)[/tex]
La función [tex]\( f(x) = 5 - 12x + 3x^2 \)[/tex] es un polinomio y los polinomios son continuos en todos los números reales. Por lo tanto, [tex]\( f(x) \)[/tex] es continua en [tex]\([1, 3]\)[/tex].
#### Hipótesis 2: Diferenciabilidad en [tex]\((1, 3)\)[/tex]
Los polinomios también son diferenciables en todos los números reales. Así que [tex]\( f(x) = 5 - 12x + 3x^2 \)[/tex] es diferenciable en [tex]\((1, 3)\)[/tex].
#### Hipótesis 3: Igualdad de los valores de la función en los extremos del intervalo
Vamos a calcular los valores de la función en los extremos del intervalo [tex]\([1, 3]\)[/tex].
[tex]\[ f(1) = 5 - 12(1) + 3(1)^2 = 5 - 12 + 3 = -4 \][/tex]
[tex]\[ f(3) = 5 - 12(3) + 3(3)^2 = 5 - 36 + 27 = -4 \][/tex]
Observamos que [tex]\( f(1) = f(3) = -4 \)[/tex]. Por lo tanto, se cumple la tercera hipótesis: [tex]\( f(a) = f(b) \)[/tex].
### Paso 2: Conclusión del teorema de Rolle
Dado que las tres hipótesis del teorema de Rolle se cumplen, existe al menos un número [tex]\( c \)[/tex] en [tex]\((1, 3)\)[/tex] tal que [tex]\( f'(c) = 0 \)[/tex]. Vamos a encontrar los valores de [tex]\( c \)[/tex].
Primero, encontramos la derivada de [tex]\( f(x) \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = 5 - 12x + 3x^2 \][/tex]
[tex]\[ f'(x) = -12 + 6x \][/tex]
Igualamos la derivada a cero y resolvemos para [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ f'(c) = 0 \][/tex]
[tex]\[ -12 + 6c = 0 \][/tex]
[tex]\[ 6c = 12 \][/tex]
[tex]\[ c = 2 \][/tex]
### Conclusión
El número [tex]\( c \)[/tex] en el intervalo [tex]\((1, 3)\)[/tex] que satisface [tex]\( f'(c) = 0 \)[/tex] es [tex]\( c = 2 \)[/tex]. Por lo tanto, la función [tex]\( f(x) = 5 - 12x + 3x^2 \)[/tex] cumple con las hipótesis del teorema de Rolle, y el valor de [tex]\( c \)[/tex] es [tex]\( c = 2 \)[/tex].
