Para encontrar la primera derivada de la función [tex]\( h(x) = \sqrt{x} \cdot \ln x \)[/tex], utilizamos la regla del producto y las reglas de derivación detalladamente.
1. Identifiquemos las funciones que se multiplican:
[tex]\[
u(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} \quad \text{y} \quad v(x) = \ln x
\][/tex]
2. Derivemos cada función por separado:
[tex]\[
u'(x) = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}
\][/tex]
[tex]\[
v'(x) = \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}
\][/tex]
3. Utilicemos la regla del producto, la cual establece que:
[tex]\[
(u \cdot v)' = u'v + uv'
\][/tex]
4. Apliquemos la regla del producto a [tex]\( h(x) \)[/tex]:
[tex]\[
h'(x) = \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right) \cdot (\ln x) + \left(x^{1/2}\right) \cdot \left(\frac{1}{x}\right)
\][/tex]
5. Simplifiquemos los términos del resultado:
[tex]\[
h'(x) = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{x^{1/2}}{x}
\][/tex]
Dado que [tex]\( x^{1/2} \)[/tex] es [tex]\(\sqrt{x}\)[/tex], podemos escribir [tex]\(\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}\)[/tex].
6. Esto nos lleva a:
[tex]\[
h'(x) = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}}
\][/tex]
Entonces, la primera derivada de la función [tex]\( h(x) = \sqrt{x} \cdot \ln x \)[/tex] es:
[tex]\[
h'(x) = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}}
\][/tex]
