Para calcular la suma [tex]\( S \)[/tex]:
[tex]\[ S = \frac{1}{2 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 10} + \frac{1}{10 \cdot 14} + \cdots + \frac{1}{20 \cdot 24} \][/tex]
Analicemos el patrón de los términos en la serie. Observamos que el numerador siempre es 1, mientras que los denominadores se dan en la forma [tex]\( n(n+4) \)[/tex] para [tex]\( n \)[/tex] valores impares del 1 al 20.
Para calcular el valor de [tex]\( S \)[/tex], se suman los recíprocos de estos productos:
1. Para [tex]\( n = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{1}{1 \cdot (1+4)} = \frac{1}{1 \cdot 5} = \frac{1}{5} \][/tex]
2. Para [tex]\( n = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{1}{3 \cdot (3+4)} = \frac{1}{3 \cdot 7} = \frac{1}{21} \][/tex]
3. Para [tex]\( n = 5 \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{1}{5 \cdot (5+4)} = \frac{1}{5 \cdot 9} = \frac{1}{45} \][/tex]
4. Para [tex]\( n = 7 \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{1}{7 \cdot (7+4)} = \frac{1}{7 \cdot 11} = \frac{1}{77} \][/tex]
5. Para [tex]\( n = 9 \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{1}{9 \cdot (9+4)} = \frac{1}{9 \cdot 13} = \frac{1}{117} \][/tex]
6. Para [tex]\( n = 11 \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{1}{11 \cdot (11+4)} = \frac{1}{11 \cdot 15} = \frac{1}{165} \][/tex]
7. Para [tex]\( n = 13 \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{1}{13 \cdot (13+4)} = \frac{1}{13 \cdot 17} = \frac{1}{221} \][/tex]
8. Para [tex]\( n = 15 \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{1}{15 \cdot (15+4)} = \frac{1}{15 \cdot 19} = \frac{1}{285} \][/tex]
9. Para [tex]\( n = 17 \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{1}{17 \cdot (17+4)} = \frac{1}{17 \cdot 21} = \frac{1}{357} \][/tex]
10. Para [tex]\( n = 19 \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{1}{19 \cdot (19+4)} = \frac{1}{19 \cdot 23} = \frac{1}{437} \][/tex]
11. Para [tex]\( n = 21 \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{1}{21 \cdot (21+4)} = \frac{1}{21 \cdot 25} = \frac{1}{525} \][/tex]
Sumando todos estos términos:
[tex]\[ S = \frac{1}{5} + \frac{1}{21} + \frac{1}{45} + \frac{1}{77} + \frac{1}{117} + \frac{1}{165} + \frac{1}{221} + \frac{1}{285} + \frac{1}{357} + \frac{1}{437} + \frac{1}{525} \][/tex]
Después de calcular la suma de estos términos, conseguimos:
[tex]\[ S \approx 0.3105590062111801 \][/tex]
Por lo tanto, la suma [tex]\( S \)[/tex] es aproximadamente [tex]\( 0.3105590062111801 \)[/tex].
