Claro, vamos a resolver este problema paso a paso.
### Datos y Conceptos:
1. Distancia desde la patrulla hasta el andén: 50 pies.
2. Punto [tex]\( C \)[/tex]: Ubicación de la luz giratoria en el andén.
3. Ángulo [tex]\( \theta \)[/tex]: Ángulo entre la línea desde la patrulla hasta el punto [tex]\( C \)[/tex], y una línea perpendicular desde la patrulla hasta el andén.
4. Tangente de un ángulo: En trigonometría, la tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo está definida como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
### Planteamiento del Problema:
Queremos hallar la tangente del ángulo [tex]\( \theta \)[/tex] formado por la luz giratoria y la perpendicular desde la patrulla al andén.
#### Paso 1: Identificación de catetos
- Cateto opuesto al ángulo [tex]\( \theta \)[/tex]: Este es el segmento que va desde el punto donde la perpendicular desde la patrulla toca el andén hasta el punto [tex]\( C \)[/tex] sobre el andén.
- Supongamos que este segmento mide [tex]\( y \)[/tex] pies.
- Cateto adyacente al ángulo [tex]\( \theta \)[/tex]: Este es el segmento que va desde la patrulla hasta el punto donde la perpendicular toca el andén.
- Este segmento mide 50 pies (esto es dado en el problema).
#### Paso 2: Aplicación de la definición de tangente
La tangente del ángulo [tex]\( \theta \)[/tex] se define como:
[tex]\[
\tan(\theta) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}
\][/tex]
Sustituyendo los valores conocidos en esta fórmula, obtenemos:
[tex]\[
\tan(\theta) = \frac{y}{50}
\][/tex]
### Conclusión:
Por lo tanto, la tangente del ángulo [tex]\( \theta \)[/tex] está dada por [tex]\( \frac{y}{50} \)[/tex].
Esto corresponde a la opción D.
[tex]\[
\boxed{\frac{ y }{50}}
\][/tex]
Así, la tangente del ángulo [tex]\( \theta \)[/tex] es [tex]\( \frac{y}{50} \)[/tex], que es la opción correcta.
