Claro, vamos a resolver el sistema de ecuaciones paso a paso según el método de Cramer.
Dado:
1. En una granja hay el doble de gatos que de perros.
2. Hay el triple de gallinas que el total de perros y gatos juntos.
3. En total hay 96 animales.
Primero debemos plasmar esta información en ecuaciones. Definimos:
- [tex]\( x \)[/tex] como el número de perros.
- [tex]\( y \)[/tex] como el número de gatos.
- [tex]\( z \)[/tex] como el número de gallinas.
Entonces, las ecuaciones serían:
1. [tex]\( y = 2x \)[/tex]
2. [tex]\( z = 3(x + y) \)[/tex]
3. [tex]\( x + y + z = 96 \)[/tex]
## Sustituimos las ecuaciones
### Desde 1. obtenemos:
[tex]\[ y = 2x \][/tex]
### Desde 2. obtenemos:
[tex]\[ z = 3(x + y) \][/tex]
Sustituyendo [tex]\( y \)[/tex] desde la ecuación (1) en la ecuación (2):
[tex]\[ z = 3(x + 2x) \][/tex]
[tex]\[ z = 9x \][/tex]
### Sustituimos en la ecuación 3:
[tex]\[ x + y + z = 96 \][/tex]
Sustituyendo [tex]\( y \)[/tex] y [tex]\( z \)[/tex]:
[tex]\[ x + 2x + 9x = 96 \][/tex]
[tex]\[ 12x = 96 \][/tex]
## Resolviendo para [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{96}{12} \][/tex]
[tex]\[ x = 8 \][/tex]
Ahora, sustituimos [tex]\( x \)[/tex] en [tex]\( y = 2x \)[/tex] para encontrar [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2(8) \][/tex]
[tex]\[ y = 16 \][/tex]
Finalmente, sustituimos [tex]\( x \)[/tex] en [tex]\( z = 9x \)[/tex] para encontrar [tex]\( z \)[/tex]:
[tex]\[ z = 9(8) \][/tex]
[tex]\[ z = 72 \][/tex]
## Resultados
- Número de perros ( [tex]\( x \)[/tex] ): 8
- Número de gatos ( [tex]\( y \)[/tex] ): 16
- Número de gallinas ( [tex]\( z \)[/tex] ): 72
Por lo tanto, en la granja hay 8 perros, 16 gatos y 72 gallinas.
