Claro, con gusto te explicaré cómo demostrar la fórmula por inducción matemática. La fórmula que queremos probar es:
[tex]\[ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \][/tex]
### Paso 1: Base de la Inducción
Primero, verificamos que la fórmula es verdadera para [tex]\( n = 1 \)[/tex].
Para [tex]\( n = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ 1^2 = 1 \][/tex]
Y la fórmula en el lado derecho es:
[tex]\[ \frac{1(1+1)(2 \cdot 1 + 1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1 \][/tex]
Entonces, la base de la inducción es cierta.
### Paso 2: Paso Inductivo
Ahora, el objetivo es asumir que la fórmula es cierta para algún [tex]\( k = n \)[/tex] (hipótesis de inducción) y luego demostrar que esto implica que también es cierto para [tex]\( k = n + 1 \)[/tex].
Hipótesis de Inducción:
[tex]\[ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \][/tex]
Debemos demostrar:
[tex]\[ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6} \][/tex]
Expresión en ambos lados:
Sumamos [tex]\((k+1)^2\)[/tex] a ambos lados de la hipótesis de inducción:
[tex]\[ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 \][/tex]
Ahora, manipulamos el lado derecho de la ecuación para que coincida con la fórmula de [tex]\( n = k + 1 \)[/tex].
[tex]\[ \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + \frac{6(k+1)^2}{6} \][/tex]
Factorizamos común:
[tex]\[ = \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2}{6} \][/tex]
Sacamos el factor común [tex]\((k+1)\)[/tex]:
[tex]\[ = \frac{(k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]}{6} \][/tex]
Simplificamos dentro del corchete:
[tex]\[ = \frac{(k+1)[2k^2 + k + 6k + 6]}{6} \][/tex]
[tex]\[ = \frac{(k+1)[2k^2 + 7k + 6]}{6} \][/tex]
Factorizamos el polinomio cuadrático:
[tex]\[ = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} \][/tex]
Reconocemos que este es el lado derecho de la ecuación para [tex]\( n = k + 1 \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6} \][/tex]
### Conclusión
Hemos demostrado que si la fórmula es verdadera para [tex]\( k \)[/tex], también es verdadera para [tex]\( k+1 \)[/tex]. Como la base de la inducción es verdadera y el paso inductivo es verificado, por el principio de inducción matemática, la fórmula es cierta para todo [tex]\( n \)[/tex] natural.
Por lo tanto,
[tex]\[ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \][/tex]
queda demostrada.
