### Bài tập 6
Cho phương trình dao động điều hòa:
[tex]\[ x = 2 \cos \left(5 t - \frac{\pi}{6}\right) \][/tex]
trong đó thời gian [tex]\( t \)[/tex] tính bằng giây và quãng đường [tex]\( x \)[/tex] tính bằng centimét.
Để xác định số lần vật đi qua vị trí cân bằng trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, ta xét các điều sau:
- Vị trí cân bằng là [tex]\( x = 0 \)[/tex].
- Điều kiện để vật đi qua vị trí cân bằng: [tex]\( \cos \left(5 t - \frac{\pi}{6}\right) = 0 \)[/tex].
Giải phương trình:
[tex]\[ \cos \left(5 t - \frac{\pi}{6}\right) = 0 \][/tex]
tức là [tex]\( 5 t - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi \)[/tex] với [tex]\( k \in \mathbb{Z} \)[/tex].
[tex]\[ 5 t = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + k\pi = \frac{4\pi}{6} + k\pi = \frac{(1 + 3k)\pi}{3} \][/tex]
[tex]\[ t = \frac{(1 + 3k)\pi}{15} \][/tex]
Xét trong khoảng từ 0 đến 6 giây:
[tex]\[ 0 \leq \frac{(1 + 3k)\pi}{15} \leq 6 \][/tex]
Giải bất phương tình này ta được các giá trị của [tex]\( k \)[/tex]:
[tex]\[ 0 \leq 1 + 3k \leq 90/\pi \approx 28.65 \][/tex]
[tex]\[ -1 \leq 3k \leq 27.65 \][/tex]
[tex]\[ -\frac{1}{3} \leq k \leq \frac{27.65}{3} \approx 9.21 \][/tex]
Do [tex]\( k \)[/tex] là số nguyên, nên [tex]\( -1 \leq k \leq 9 \)[/tex]. Tổng cộng có 11 giá trị nguyên của [tex]\( k \)[/tex] (từ -1 đến 9).
Do đó, số lần vật đi qua vị trí cân bằng trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây là 11 lần.
### Bài tập 7
#### a) Tầm xa của quả đạn
Tầm xa R của quả đạn khi bắn từ mặt đất bằng vận tốc [tex]\( v_0 = 500 \)[/tex] m/s và góc bắn [tex]\( \alpha \)[/tex] so với phương ngang được tính theo công thức:
[tex]\[ R = \frac{v_0^2 \sin (2\alpha)}{g} \][/tex]
trong đó [tex]\( g = 9.8 \)[/tex] m/s² là gia tốc trọng trường.
#### b) Tìm góc bắn [tex]\( \alpha \)[/tex] để quả đạn trúng mục tiêu cách 22000 m
Ta cần tìm góc [tex]\( \alpha \)[/tex] sao cho tầm xa [tex]\( R = 22000 \)[/tex] m.
[tex]\[ 22000 = \frac{500^2 \sin (2\alpha)}{9.8} \][/tex]
[tex]\[ \sin (2\alpha) = \frac{22000 \times 9.8}{500^2} \approx 0.4312 \][/tex]
Ta tìm được hai góc [tex]\( \alpha \)[/tex] thỏa mãn điều kiện này:
[tex]\[ 2\alpha = \arcsin(0.4312) \][/tex]
[tex]\[ 2\alpha \approx 0.8639 \, \text{rad} \quad \Rightarrow \quad \alpha \approx 0.43195 \, \text{rad} \][/tex]
Hoặc:
[tex]\[ 2\alpha = \pi - \arcsin(0.4312) \][/tex]
[tex]\[ 2\alpha \approx 3.0057 \, \text{rad} \quad \Rightarrow \quad \alpha \approx 1.50285 \, \text{rad} \][/tex]
Do đó, hai góc bắn để quả đạn trúng mục tiêu là 0.432 rad và 1.503 rad.
#### c) Tìm góc bắn [tex]\( \alpha \)[/tex] để quả đạn đạt độ cao lớn nhất
Để đạt độ cao lớn nhất, góc bắn [tex]\( \alpha \)[/tex] phải là 45 độ hay [tex]\( \frac{\pi}{4} \)[/tex] rad.
Do đó, góc bắn để đạt độ cao lớn nhất là 0.785 rad.
