Para simplificar la expresión [tex]\(\frac{e^{x+1}}{e + e^{x+1}}\)[/tex], sigamos estos pasos detalladamente:
1. Reescritura del exponente:
Observemos que [tex]\(e^{x+1}\)[/tex] se puede reescribir como [tex]\(e \cdot e^x\)[/tex]. Esto se debe a las propiedades de los exponentes:
[tex]\[
e^{x+1} = e^x \cdot e^1 = e^x \cdot e.
\][/tex]
Por lo tanto, la expresión original se convierte en:
[tex]\[
\frac{e \cdot e^x}{e + e \cdot e^x}.
\][/tex]
2. Factorización en el denominador:
Observemos que en el denominador [tex]\(e + e \cdot e^x\)[/tex], el término [tex]\(e\)[/tex] es un factor común. Podemos factorizar [tex]\(e\)[/tex] de la siguiente manera:
[tex]\[
e + e \cdot e^x = e(1 + e^x).
\][/tex]
De esta forma, la fracción tomada en cuenta ahora es:
[tex]\[
\frac{e \cdot e^x}{e(1 + e^x)}.
\][/tex]
3. Simplificación de factores comunes:
En la fracción [tex]\(\frac{e \cdot e^x}{e(1 + e^x)}\)[/tex], tanto en el numerador como en el denominador, el término [tex]\(e\)[/tex] aparece como un factor multiplicativo. Podemos simplificarlo dividiendo ambos términos por [tex]\(e\)[/tex]:
[tex]\[
\frac{e \cdot e^x}{e(1 + e^x)} = \frac{e^x}{1 + e^x}.
\][/tex]
De modo que la expresión simplificada de [tex]\(\frac{e^{x+1}}{e + e^{x+1}}\)[/tex] es:
[tex]\[
\frac{e^x}{1 + e^x}.
\][/tex]
Y esto corresponde a la opción (d).
