Para resolver el sistema de ecuaciones cuadráticas:
[tex]\[
\begin{cases}
y = x^2 - 3x - 6 \\
y = x - 1
\end{cases}
\][/tex]
seguimos los siguientes pasos:
1. Igualamos las dos ecuaciones con respecto a [tex]\(y\)[/tex]:
Dado que ambas ecuaciones son igual a [tex]\(y\)[/tex], podemos igualarlas entre sí:
[tex]\[ x^2 - 3x - 6 = x - 1 \][/tex]
2. Reorganizamos la ecuación para que todos los términos estén en un solo lado:
Para simplificar, movemos todos los términos al lado izquierdo de la ecuación:
[tex]\[ x^2 - 3x - 6 - x + 1 = 0 \][/tex]
Simplificamos los términos semejantes:
[tex]\[ x^2 - 4x - 5 = 0 \][/tex]
3. Resolvemos la ecuación cuadrática:
Para encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática, podemos utilizar la fórmula general para las raíces de una ecuación de la forma [tex]\(ax^2 + bx + c = 0\)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
En nuestro caso, [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(b = -4\)[/tex], y [tex]\(c = -5\)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{4 \pm 6}{2} \][/tex]
Esto nos da dos soluciones para [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ x_1 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \][/tex]
4. Encontramos los correspondientes valores de [tex]\(y\)[/tex]:
Ahora utilizamos la ecuación [tex]\(y = x - 1\)[/tex] para encontrar los valores de [tex]\(y\)[/tex] correspondientes a cada valor de [tex]\(x\)[/tex]:
Para [tex]\(x = 5\)[/tex]:
[tex]\[ y = 5 - 1 = 4 \][/tex]
Para [tex]\(x = -1\)[/tex]:
[tex]\[ y = -1 - 1 = -2 \][/tex]
5. Escribimos las soluciones en forma de pares ordenados [tex]\((x, y)\)[/tex]:
Las soluciones del sistema de ecuaciones son los pares ordenados [tex]\((x, y)\)[/tex]:
[tex]\[ (x, y) = (-1, -2) \][/tex]
[tex]\[ (x, y) = (5, 4) \][/tex]
Por lo tanto, las soluciones del sistema de ecuaciones son:
[tex]\[ (-1, -2) \quad \text{y} \quad (5, 4) \][/tex]
