Для решения уравнения
[tex]\[
4^x + (x - 1) \cdot 2^x + 2x - 6 = 0,
\][/tex]
следуем следующими шагами:
1. Запишем уравнение:
[tex]\[
4^x + (x - 1) \cdot 2^x + 2x - 6 = 0.
\][/tex]
2. Преобразуем выражение [tex]\(4^x\)[/tex] в более удобную форму. Заметим, что [tex]\(4^x\)[/tex] можно представить как [tex]\((2^2)^x = 2^{2x}\)[/tex]. Тогда уравнение переписываем следующим образом:
[tex]\[
2^{2x} + (x - 1) \cdot 2^x + 2x - 6 = 0.
\][/tex]
3. Введем новую переменную [tex]\(y = 2^x\)[/tex]. Тогда [tex]\(2^{2x}\)[/tex] можно переписать как [tex]\(y^2\)[/tex]. Таким образом, уравнение примет вид:
[tex]\[
y^2 + (x - 1)y + 2x - 6 = 0.
\][/tex]
4. Это уравнение является нелинейным относительно [tex]\(x\)[/tex] и [tex]\(y\)[/tex]. Решим его, используя подход для решения уравнений с экспонентами и логарифмами, а также используя свойства чисел Ламберта (Lambert W function).
5. Разрешим уравнение относительно [tex]\(y\)[/tex], запишем [tex]\(y\)[/tex] в явном виде через логарифмы. Здесь мы используем свойства функции Ламберта (Lambert W function, которая помогает решать уравнения вида [tex]\(z = we^w\)[/tex]).
Решая уравнение, мы найдем два основных решения:
1. [tex]\(x = \frac{-\text{LambertW}(\log(256)) + \log(8)}{\log(2)},\)[/tex]
2. [tex]\(x = 1 + \frac{i\pi}{\log(2)}.\)[/tex]
При этом важно вспомнить, что Lambert W function может вернуть комплексные числа, что в итоге и происходит во втором решении.
Ответ:
[tex]\[
\left[ \frac{-\text{LambertW}(\log(256)) + \log(8)}{\log(2)}, \quad 1 + \frac{i\pi}{\log(2)} \right].
\][/tex]
Это и есть наши решения уравнения:
[tex]\[
4^x + (x - 1) \cdot 2^x + 2x - 6 = 0.
\][/tex]
