Para resolver la expresión [tex]\( P=\frac{5}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \)[/tex], necesitamos racionalizar el denominador. Siga estos pasos detalladamente:
1. Identificar la expresión dada:
[tex]\[
P = \frac{5}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}
\][/tex]
2. Multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:
[tex]\[
P = \frac{5}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}
\][/tex]
3. Calcular el numerador de la expresión resultante:
[tex]\[
5 \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{3}) = 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{3}
\][/tex]
4. Calcular el denominador utilizando la fórmula de la diferencia de cuadrados [tex]\((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\)[/tex]:
[tex]\[
(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2
\][/tex]
[tex]\[
= 5 - 3 = 2
\][/tex]
5. Simplificar el resultado:
[tex]\[
P = \frac{5(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}
\][/tex]
Por lo tanto, la expresión racionalizada de [tex]\( P \)[/tex] es:
[tex]\[
\boxed{\frac{5(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}}
\][/tex]
Comparando con las opciones dadas:
- La opción correcta es [tex]\( \boxed{\frac{5}{2}(\sqrt{5} + \sqrt{3})} \)[/tex]
Las demás opciones no coinciden con la expresión obtenida a través de la racionalización.
