Para determinar la relación entre las rectas que pasan por los puntos [tex]\(A (3, -1)\)[/tex] y [tex]\(B (-6, 5)\)[/tex], así como por los puntos [tex]\(C (0, 2)\)[/tex] y [tex]\(D (-2, -1)\)[/tex], vamos a seguir los siguientes pasos:
1. Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos [tex]\(A\)[/tex] y [tex]\(B\)[/tex]:
La fórmula para la pendiente (m) de una recta que pasa por dos puntos [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] y [tex]\((x_2, y_2)\)[/tex] es:
[tex]\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\][/tex]
Entonces, para los puntos [tex]\(A (3, -1)\)[/tex] y [tex]\(B (-6, 5)\)[/tex]:
[tex]\[
m_{AB} = \frac{5 - (-1)}{-6 - 3} = \frac{5 + 1}{-6 - 3} = \frac{6}{-9} = -\frac{2}{3}
\][/tex]
Por lo tanto, la pendiente de la recta que pasa por [tex]\(A\)[/tex] y [tex]\(B\)[/tex] es [tex]\(-\frac{2}{3}\)[/tex].
2. Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos [tex]\(C\)[/tex] y [tex]\(D\)[/tex]:
De nuevo, utilizamos la misma fórmula de la pendiente:
[tex]\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\][/tex]
Entonces, para los puntos [tex]\(C (0, 2)\)[/tex] y [tex]\(D (-2, -1)\)[/tex]:
[tex]\[
m_{CD} = \frac{-1 - 2}{-2 - 0} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}
\][/tex]
Por lo tanto, la pendiente de la recta que pasa por [tex]\(C\)[/tex] y [tex]\(D\)[/tex] es [tex]\(\frac{3}{2}\)[/tex].
3. Determinar si las rectas son paralelas:
Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales. En este caso:
[tex]\[
m_{AB} = -\frac{2}{3} \quad \text{y} \quad m_{CD} = \frac{3}{2}
\][/tex]
Dado que [tex]\(-\frac{2}{3} \neq \frac{3}{2}\)[/tex], las rectas no son paralelas.
4. Determinar si las rectas son perpendiculares:
Dos rectas son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es [tex]\(-1\)[/tex]. Calculamos el producto de las pendientes:
[tex]\[
m_{AB} \times m_{CD} = \left(-\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{3}{2}\right) = -1
\][/tex]
Dado que el producto de las pendientes es [tex]\(-1\)[/tex], las rectas son perpendiculares.
Por lo tanto, la recta que pasa por los puntos [tex]\(A (3, -1)\)[/tex] y [tex]\(B (-6, 5)\)[/tex] es perpendicular a la recta que pasa por los puntos [tex]\(C (0, 2)\)[/tex] y [tex]\(D (-2, -1)\)[/tex].
