¡Claro! Vamos a resolver las divisiones de polinomios utilizando la regla de Ruffini.
### A. División de [tex]\((x^3 - 3x^2 + 4)\)[/tex] por [tex]\((x + 2)\)[/tex]
1. Escribimos los coeficientes del polinomio dividendo [tex]\(x^3 - 3x^2 + 0x + 4\)[/tex] (agregamos [tex]\(0x\)[/tex] para completar los términos):
Coeficientes: [tex]\(1, -3, 0, 4\)[/tex]
2. Usamos el término [tex]\(x + 2\)[/tex], por lo que [tex]\(a = -2\)[/tex].
#### Procedimiento:
- Colocamos el coeficiente de mayor grado bajo la línea y multiplicamos por [tex]\(a = -2\)[/tex].
- Sumamos el resultado con el coeficiente siguiente.
| [tex]\(-2\)[/tex] | \quad\ \ \ (1) | -3 | 0 | 4 |
|:-:|:-:|:--:|:--:|:--:|
| | | -2 | 10 | -20 |
| 1 | -3+2 = -5 | 0+10 = 10| 4-20 = -16 |
Entonces, el cociente es [tex]\(x^2 - 5x + 10\)[/tex] y el residuo es [tex]\(-16\)[/tex].
Por lo tanto:
[tex]\[ \frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x + 2} = x^2 - 5x + 10 - \frac{16}{x+2} \][/tex]
### B. División de [tex]\((2x^3 + 5x^2 - 4x + 2)\)[/tex] por [tex]\((x + 3)\)[/tex]
1. Escribimos los coeficientes del polinomio dividendo [tex]\(2x^3 + 5x^2 - 4x + 2\)[/tex]:
Coeficientes: [tex]\(2, 5, -4, 2\)[/tex]
2. Usamos el término [tex]\(x + 3\)[/tex], por lo que [tex]\(a = -3\)[/tex].
#### Procedimiento:
- Colocamos el coeficiente de mayor grado bajo la línea y multiplicamos por [tex]\(a = -3\)[/tex].
- Sumamos el resultado con el coeficiente siguiente.
| [tex]\(-3\)[/tex] | \quad\ \ \ \ \ (2) | 5 | -4 | 2 |
|:-:|:-:|:--:|:--:|:--:|
| | | -6 | 3 | -15 |
| 2 | 5-6= -1 | -4+3 = -1 | 2-15 = 5 |
Entonces, el cociente es [tex]\(2x^2 - x - 1\)[/tex] y el residuo es [tex]\(5\)[/tex].
Por lo tanto:
[tex]\[ \frac{2x^3 + 5x^2 - 4x + 2}{x + 3} = 2x^2 - x - 1 + \frac{5}{x + 3} \][/tex]
### C. División de [tex]\((x^4 - 5x^2 + 4)\)[/tex] por [tex]\((x - 2)\)[/tex]
1. Escribimos los coeficientes del polinomio dividendo [tex]\(x^4 + 0x^3 - 5x^2 + 0x + 4\)[/tex] (agregamos [tex]\(0x^3\)[/tex] y [tex]\(0x\)[/tex] para completar los términos):
Coeficientes: [tex]\(1, 0, -5, 0, 4\)[/tex]
2. Usamos el término [tex]\(x - 2\)[/tex], por lo que [tex]\(a = 2\)[/tex].
#### Procedimiento:
- Colocamos el coeficiente de mayor grado bajo la línea y multiplicamos por [tex]\(a = 2\)[/tex].
- Sumamos el resultado con el coeficiente siguiente.
| [tex]\(2\)[/tex] | \quad\ \ \ \ \ (1) | 0 | -5 | 0 | 4 |
|:-:|:-:|:--:|:--:|:--:|:--:|
| | | 2 | 4 | -2 | 4 |
| 1 | 0+2= 2 | -5+4=-1 | 0-2=-2 | 4+4=0 | 0 |
Entonces, el cociente es [tex]\(x^3 + 2x^2 - x - 2\)[/tex] y el residuo es [tex]\(0\)[/tex].
Por lo tanto:
[tex]\[ \frac{x^4 - 5x^2 + 4}{x - 2} = x^3 + 2x^2 - x - 2 \][/tex]
### Resumen de los resultados:
a. [tex]\((x^3 - 3x^2 + 4) ÷ (x + 2) = x^2 - 5x + 10 - \frac{16}{x+2}\)[/tex]
b. [tex]\((2x^3 + 5x^2 - 4x + 2) ÷ (x + 3) = 2x^2 - x - 1 + \frac{5}{x + 3}\)[/tex]
c. [tex]\((x^4 - 5x^2 + 4) ÷ (x - 2) = x^3 + 2x^2 - x - 2\)[/tex]
Estos son los cocientes y residuos obtenidos para cada división.
