Para resolver el problema, seguimos estos pasos:
1. Identificar las ecuaciones dadas:
- [tex]\(a + b = 1\)[/tex]
- [tex]\(a^2 + b^2 = 2\)[/tex]
2. Encontrar el producto [tex]\(ab\)[/tex]:
- Recordamos la identidad [tex]\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)[/tex].
- Sustituimos los valores dados:
[tex]\[
(a + b)^2 = 1^2 = 1
\][/tex]
[tex]\[
a^2 + b^2 + 2ab = 1
\][/tex]
- Sabemos que [tex]\(a^2 + b^2 = 2\)[/tex], por lo tanto:
[tex]\[
2 + 2ab = 1
\][/tex]
- Resolvemos para [tex]\(ab\)[/tex]:
[tex]\[
2ab = 1 - 2
\][/tex]
[tex]\[
2ab = -1
\][/tex]
[tex]\[
ab = -\frac{1}{2}
\][/tex]
3. Determinar [tex]\(a^3 + b^3\)[/tex]:
- Usamos la identidad para la suma de cubos:
[tex]\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
\][/tex]
- Sustituimos los valores obtenidos:
[tex]\[
a + b = 1
\][/tex]
[tex]\[
a^2 + b^2 = 2
\][/tex]
[tex]\[
ab = -\frac{1}{2}
\][/tex]
- Sustituimos estos valores en la identidad:
[tex]\[
a^3 + b^3 = (1) \left(2 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right)
\][/tex]
[tex]\[
a^3 + b^3 = 1 \left(2 + \frac{1}{2}\right)
\][/tex]
[tex]\[
a^3 + b^3 = 1 \left(\frac{4}{2} + \frac{1}{2}\right)
\][/tex]
[tex]\[
a^3 + b^3 = 1 \times \frac{5}{2}
\][/tex]
[tex]\[
a^3 + b^3 = \frac{5}{2}
\][/tex]
[tex]\[
a^3 + b^3 = 2.5
\][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\(a^3 + b^3\)[/tex] es [tex]\(2.5\)[/tex].
