Claro, vamos a resolverlo paso a paso.
### Paso 1: Convertir la ecuación de la circunferencia a su forma estándar
La ecuación de la circunferencia es:
[tex]\[ 25x^2 + 25y^2 - 150y - 64 = 0 \][/tex]
Primero, podemos simplificar dividiendo toda la ecuación entre 25:
[tex]\[ x^2 + y^2 - 6y - \frac{64}{25} = 0 \][/tex]
Ahora, completamos el cuadrado en el término de [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ x^2 + (y^2 - 6y) - \frac{64}{25} = 0 \][/tex]
[tex]\[ x^2 + (y - 3)^2 - 9 - \frac{64}{25} = 0 \][/tex]
[tex]\[ x^2 + (y - 3)^2 - \frac{289}{25} = 0 \][/tex]
[tex]\[ x^2 + (y - 3)^2 = \frac{289}{25} \][/tex]
Esta es la forma estándar de la ecuación de una circunferencia, donde:
- El centro de la circunferencia [tex]\((h, k)\)[/tex] es [tex]\((0, 3)\)[/tex].
- El radio [tex]\(r\)[/tex] es [tex]\(\sqrt{\frac{289}{25}} = 3.4\)[/tex].
### Paso 2: Analizar la ecuación de la recta
La ecuación de la recta es:
[tex]\[ 4x - 3y = 8 \][/tex]
Podemos reorganizarla para expresar [tex]\( y \)[/tex] en términos de [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ 3y = 4x - 8 \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \][/tex]
### Paso 3: Encontrar los puntos de intersección entre la recta y la circunferencia
Sustituimos [tex]\( y = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \)[/tex] en la ecuación estándar de la circunferencia:
[tex]\[ x^2 + \left(\frac{4}{3}x - \frac{8}{3} - 3\right)^2 = \frac{289}{25} \][/tex]
[tex]\[ x^2 + \left(\frac{4}{3}x - \frac{17}{3}\right)^2 = \frac{289}{25} \][/tex]
Resolvemos esta ecuación cuadrática para [tex]\( x \)[/tex], y obtenemos los puntos de intersección. Para este caso en particular se determina que hay un solo punto de intersección que es [tex]\( x = \frac{68}{25} \)[/tex].
### Paso 4: Concluir la relación entre la recta y la circunferencia
De los cálculos obtenemos que:
- La circunferencia tiene centro en [tex]\((0, 3)\)[/tex] y radio [tex]\(3.4\)[/tex].
- La recta [tex]\(4x - 3y = 8\)[/tex] intersecta a la circunferencia en un solo punto.
Dado que hay un solo punto de intersección, la recta es tangente a la circunferencia.
En resumen, la relación entre la recta y la circunferencia es que la recta es tangente a la circunferencia en el punto [tex]\( ( \frac{68}{25}, \frac{4 \times \frac{68}{25} - 8}{3} ) \)[/tex].
