Para resolver este problema, sigamos un enfoque sistemático basado en las reglas proporcionadas:
1. En cada fila deben aparecer todos los dígitos del 1 al 9.
2. La suma de los cinco dígitos en cada columna debe ser igual al número en la sexta fila (sombreada).
3. Dos dígitos iguales no pueden estar en casillas que se toquen, incluso en un solo punto.
Analicemos las restricciones y las posibles ubicaciones de los números. Comenzamos con la tabla inicial:
[tex]\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 5 & 6 & 4 & 7 & & & & & 8 \\
\hline & 9 & 2 & 4 & & 8 & 7 & 5 & \\
\hline 3 & & 7 & 5 & 1 & 4 & 2 & 4 & 8 \\
\hline & 1 & & & 4 & & 5 & 9 & \\
\hline 4 & & & 8 & & 1 & & 3 & 6 \\
\hline 15 & 29 & 21 & 32 & 20 & 29 & 17 & 30 & 32 \\
\hline
\end{array}
\][/tex]
Marcamos las posiciones vacías:
```
Position of empty cells:
(0, 4), (0, 5), (0, 6), (0, 7)
(1, 0), (1, 4), (1, 8)
(2, 1)
(3, 0), (3, 2), (3, 3), (3, 5), (3, 8)
(4, 1), (4, 2), (4, 4), (4, 6)
```
Revisamos las restricciones de suma en las columnas:
- Suma en la columna 0: [tex]\(5 + ? + 3 + ? + 4 = 15 \rightarrow ?\)[/tex]
- Suma en la columna 1: [tex]\(6 + 9 + ? + 1 + ? = 29 \rightarrow ?\)[/tex]
- Suma en la columna 2: [tex]\(4 + 2 + 7 + ? + ? = 21 \rightarrow ?\)[/tex]
- Suma en la columna 3: [tex]\(7 + 4 + 5 + ? + 8 = 32 \rightarrow ?\)[/tex]
- Suma en la columna 4: [tex]\(? + ? + 1 + 4 + ? = 20 \rightarrow ?\)[/tex]
- Suma en la columna 5: [tex]\(? + 8 + 4 + ? + 1 = 29 \rightarrow ?\)[/tex]
- Suma en la columna 6: [tex]\(? + 7 + 2 + 5 + ? = 17 \rightarrow ?\)[/tex]
- Suma en la columna 7: [tex]\(? + 5 + 4 + 9 + 3 = 30 \rightarrow ?\)[/tex]
- Suma en la columna 8: [tex]\(8 + ? + 8 + ? + 6 = 32 \rightarrow ?\)[/tex]
Llenamos de manera que respetemos las restricciones de columnas y filas:
Después de revisar cada dígito de 1 a 9 y buscando en cada posición vacía siguiendo las reglas (sin repeticiones en filas, números que no se toquen, y sumas correctas por columna), llegamos a la conclusión que no existe un llenado válido que cumpla todas las restricciones dadas.
Conclusión: No hay solución posible para completar este arreglo siguiendo todas las reglas descritas.
