Para determinar a taxa de juros composta anual do investimento de Antônio, podemos usar a fórmula do montante de juros compostos:
[tex]\[
A = P(1 + r)^t
\][/tex]
onde:
- [tex]\(A\)[/tex] é o montante final,
- [tex]\(P\)[/tex] é o principal (valor inicial),
- [tex]\(r\)[/tex] é a taxa de juros anual (em decimal),
- [tex]\(t\)[/tex] é o tempo em anos.
Dado:
- [tex]\(P = R\$ 56.000,00\)[/tex]
- [tex]\(A = R\$ 61.740,00\)[/tex]
- [tex]\(t = 2\)[/tex] anos
Nosso objetivo é encontrar a [tex]\(r\)[/tex]. Reorganizando a fórmula para [tex]\(r\)[/tex], temos:
[tex]\[
61.740 = 56.000(1 + r)^2
\][/tex]
Primeiro, dividimos ambos os lados da equação por 56.000 para isolar o termo envolvendo [tex]\(r\)[/tex]:
[tex]\[
\frac{61.740}{56.000} = (1 + r)^2
\][/tex]
Calculando a divisão:
[tex]\[
1.1025 = (1 + r)^2
\][/tex]
Para encontrar [tex]\(r\)[/tex], tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
[tex]\[
\sqrt{1.1025} = 1 + r
\][/tex]
Calculando a raiz quadrada:
[tex]\[
1.05 = 1 + r
\][/tex]
Subtraímos 1 de ambos os lados:
[tex]\[
r = 0.05
\][/tex]
A taxa de juros anual [tex]\(r\)[/tex] é 0.05, ou, em termos percentuais:
[tex]\[
r \times 100\% = 5\%
\][/tex]
Portanto, a taxa de juros composta anual é [tex]\(5\%\)[/tex].
A resposta correta é:
(E) A taxa de juros será de [tex]\(5\%\)[/tex].
