Claro, vamos a encontrar el límite [tex]\(\lim_{x \to 7} \left[\frac{x^2 + x - 56}{x^2 - 11x + 28}\right]\)[/tex]. Para resolverlo, desglosaremos cada paso de manera detallada:
1. Factorizar el numerador y el denominador:
Primero, factorizamos el numerador [tex]\(x^2 + x - 56\)[/tex].
[tex]\[
x^2 + x - 56 = (x + 8)(x - 7)
\][/tex]
Ahora factorizamos el denominador [tex]\(x^2 - 11x + 28\)[/tex].
[tex]\[
x^2 - 11x + 28 = (x - 4)(x - 7)
\][/tex]
Entonces, la expresión inicial se convierte en:
[tex]\[
\frac{(x + 8)(x - 7)}{(x - 4)(x - 7)}
\][/tex]
2. Simplificar la fracción:
Observamos que tanto el numerador como el denominador tienen un factor común [tex]\((x - 7)\)[/tex], así que podemos cancelarlo:
[tex]\[
\frac{(x + 8)(x - 7)}{(x - 4)(x - 7)} = \frac{x + 8}{x - 4}, \quad x \neq 7
\][/tex]
3. Evaluar el límite:
Ahora que hemos simplificado la fracción, podemos evaluar el límite sustituyendo [tex]\(x\)[/tex] por 7 en la expresión simplificada:
[tex]\[
\lim_{x \to 7} \frac{x + 8}{x - 4}
\][/tex]
Sustituyendo [tex]\(x = 7\)[/tex]:
[tex]\[
\frac{7 + 8}{7 - 4} = \frac{15}{3} = 5
\][/tex]
Entonces, el valor del límite es:
[tex]\[
\lim_{x \to 7} \left[\frac{x^2 + x - 56}{x^2 - 11x + 28}\right] = 5
\][/tex]
Así que, hemos encontrado que el límite es [tex]\(5\)[/tex].
