Para resolver este sistema de ecuaciones lineales, vamos a aplicar el método de sustitución. Dado el sistema:
[tex]\[
\begin{cases}
x - y + z = \frac{11}{5} \\
2y + z = \frac{1}{5} \\
10z = 2
\end{cases}
\][/tex]
Primero, resolveremos la tercera ecuación para [tex]\( z \)[/tex]:
[tex]\[
10z = 2 \\
z = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}
\][/tex]
Ahora que tenemos el valor de [tex]\( z \)[/tex], vamos a sustituir [tex]\( z \)[/tex] en la segunda ecuación:
[tex]\[
2y + z = \frac{1}{5} \\
2y + \frac{1}{5} = \frac{1}{5}
\][/tex]
Restamos [tex]\(\frac{1}{5}\)[/tex] de ambos lados de la ecuación:
[tex]\[
2y = \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \\
2y = 0 \\
y = 0
\][/tex]
Con los valores de [tex]\( y \)[/tex] y [tex]\( z \)[/tex] conocidos, sustituimos estos valores en la primera ecuación para encontrar [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
x - y + z = \frac{11}{5} \\
x - 0 + \frac{1}{5} = \frac{11}{5}
\][/tex]
Restamos [tex]\(\frac{1}{5}\)[/tex] de ambos lados de la ecuación:
[tex]\[
x = \frac{11}{5} - \frac{1}{5} \\
x = \frac{10}{5} \\
x = 2
\][/tex]
Así, hemos encontrado que la solución del sistema de ecuaciones es:
[tex]\[
(x, y, z) = \left(2, 0, \frac{1}{5}\right)
\][/tex]
Finalmente, verificamos esta solución sustituyendo los valores en las ecuaciones originales del sistema:
1. Sustitución en [tex]\( x - y + z = \frac{11}{5} \)[/tex]:
[tex]\[
2 - 0 + \frac{1}{5} = 2 + \frac{1}{5} = \frac{10}{5} + \frac{1}{5} = \frac{11}{5}
\][/tex]
2. Sustitución en [tex]\( 2y + z = \frac{1}{5} \)[/tex]:
[tex]\[
2(0) + \frac{1}{5} = 0 + \frac{1}{5} = \frac{1}{5}
\][/tex]
3. Sustitución en [tex]\( 10z = 2 \)[/tex]:
[tex]\[
10 \left(\frac{1}{5}\right) = 2
\][/tex]
Todas las ecuaciones se cumplen, así que la solución es correcta. Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:
[tex]\[
\left(2, 0, \frac{1}{5}\right)
\][/tex]
