Para resolver el problema de determinar la rapidez inicial que se debe dar a un cuerpo para que caiga [tex]\( 980 \)[/tex] metros en [tex]\( 10 \)[/tex] segundos con una aceleración debida a la gravedad de [tex]\( 9.8 \, \text{m/s}^2 \)[/tex], utilizamos la segunda ecuación del movimiento:
[tex]\[ s = ut + \frac{1}{2} g t^2 \][/tex]
donde
- [tex]\( s \)[/tex] es la distancia recorrida (980 m).
- [tex]\( u \)[/tex] es la velocidad inicial que queremos encontrar.
- [tex]\( t \)[/tex] es el tiempo (10 s).
- [tex]\( g \)[/tex] es la aceleración debida a la gravedad (9.8 m/s²).
1. Planteamos la ecuación con los valores dados:
[tex]\[
980 = u \cdot 10 + \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot 10^2
\][/tex]
2. Calculamos la parte de la ecuación correspondiente a la gravedad:
[tex]\[
\frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot 10^2 = \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot 100 = 490
\][/tex]
3. Sustituimos este valor en la ecuación:
[tex]\[
980 = u \cdot 10 + 490
\][/tex]
4. Restamos 490 a ambos lados de la ecuación para aislar [tex]\( u \)[/tex]:
[tex]\[
980 - 490 = u \cdot 10
\][/tex]
5. Simplificamos:
[tex]\[
490 = u \cdot 10
\][/tex]
6. Resolvemos para [tex]\( u \)[/tex] dividiendo ambos lados entre 10:
[tex]\[
u = \frac{490}{10} = 49
\][/tex]
Entonces, la rapidez inicial que se debe dar al cuerpo para que caiga [tex]\( 980 \)[/tex] metros en [tex]\( 10 \)[/tex] segundos es [tex]\( 49 \, \text{m/s} \)[/tex], lo cual corresponde a la opción c).
[tex]\[ \boxed{49 \, \text{m/s}} \][/tex]
