¡Claro! Vamos a descomponer el problema paso a paso para encontrar la tasa de interés anual capitalizable por días.
### Paso 1: Datos del problema
- Monto del crédito: $50,000
- Interés total: 18.2%
- Plazo del crédito: 8 meses
### Paso 2: Entender lo que buscamos
Queremos encontrar la tasa de interés anual que se capitaliza diariamente, de tal forma que el interés total al final del periodo sea 18.2%.
### Paso 3: Conversión de meses a días
Convertimos el plazo de 8 meses a días. Asumiremos que cada mes tiene 30 días para simplificación:
[tex]\[ \text{Días} = 8 \text{ meses} \times 30 \text{ días/mes} = 240 \text{ días} \][/tex]
### Paso 4: Convertir el interés total a decimal
La tasa de interés total del 18.2% se convierte en decimal:
[tex]\[ \text{Interés total} = \frac{18.2}{100} = 0.182 \][/tex]
### Paso 5: Relación entre la tasa diaria y la tasa total
Sabemos que si la tasa diaria [tex]\(r_d\)[/tex] se aplica diariamente durante 240 días, al final se habrá acumulado un total de 18.2% de interés. Esto se puede expresar matemáticamente con la fórmula del interés compuesto diario:
[tex]\[ (1 + r_d)^{240} = 1 + 0.182 \][/tex]
[tex]\[ (1 + r_d)^{240} = 1.182 \][/tex]
Despejamos la tasa diaria [tex]\(r_d\)[/tex]:
[tex]\[ 1 + r_d = (1.182)^{\frac{1}{240}} \][/tex]
Restamos 1 para encontrar [tex]\(r_d\)[/tex]:
[tex]\[ r_d = (1.182)^{\frac{1}{240}} - 1 \][/tex]
Por cálculos, obtenemos:
[tex]\[ r_d \approx 0.000696942414014412 \][/tex]
### Paso 6: Convertir la tasa diaria a anual
Para encontrar la tasa anual [tex]\(r_a\)[/tex] que se capitaliza diariamente, usamos la misma fórmula del interés compuesto pero ahora anual:
[tex]\[ (1 + r_d)^{365} = 1 + r_a \][/tex]
Despejamos la tasa anual [tex]\(r_a\)[/tex]:
[tex]\[ r_a = (1 + r_d)^{365} - 1 \][/tex]
Por cálculos, obtenemos:
[tex]\[ r_a \approx 0.2895526519385456 \][/tex]
### Paso 7: Convertir la tasa anual a porcentaje
Finalmente, convertimos la tasa anual a porcentaje:
[tex]\[ \text{Tasa anual en porcentaje} = r_a \times 100 \][/tex]
[tex]\[ \text{Tasa anual en porcentaje} \approx 28.95526519385456\% \][/tex]
### Resumen de resultados
- Tasa de interés diaria: [tex]\( \approx 0.000696942414014412 \)[/tex]
- Tasa de interés anual: [tex]\( \approx 0.2895526519385456 \)[/tex]
- Tasa de interés anual (porcentaje): [tex]\( \approx 28.95526519385456\% \)[/tex]
Con esto, hemos determinado que la tasa de interés anual capitalizable por días es aproximadamente 28.96%.
