Claro, vamos a resolver este problema de una manera detallada.
1. Pregunta los Datos:
- Angulo de visión de Juan: [tex]\(45^{\circ}\)[/tex]
- Angulo de visión de Pedro: [tex]\(60^{\circ}\)[/tex]
- Distancia entre las casas de Juan y Pedro: 126 m
2. Variables y Denotaciones:
- Vamos a denotar la altura de la torre como [tex]\(h\)[/tex].
- Denotemos la distancia desde la casa de Juan hasta la base de la torre como [tex]\(x\)[/tex].
- Por lo tanto, la distancia desde la casa de Pedro hasta la base de la torre será [tex]\(126 - x\)[/tex].
3. Uso de la Tangente:
La tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre la componente opuesta y la componente adyacente.
- Para Juan: [tex]\(\tan(45^{\circ}) = \frac{h}{x}\)[/tex]
- Para Pedro: [tex]\(\tan(60^{\circ}) = \frac{h}{126 - x}\)[/tex]
4. Cálculo de las Tangentes:
- Sabemos que [tex]\(\tan(45^{\circ}) = 1\)[/tex].
- También sabemos que [tex]\(\tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}\)[/tex].
5. Utilizamos las Ecuaciones:
- De [tex]\(\tan(45^{\circ})\)[/tex]: [tex]\(h = x\)[/tex]
- De [tex]\(\tan(60^{\circ})\)[/tex]: [tex]\(h = (\sqrt{3} \times (126 - x))\)[/tex]
6. Igualamos las Ecuaciones para Obtener una Solución para [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[
x = \sqrt{3} \times (126 - x)
\][/tex]
Esto se convierte en:
[tex]\[
x + \sqrt{3} \times x = 126 \times \sqrt{3}
\][/tex]
Simplificando:
[tex]\[
x (1 + \sqrt{3}) = 126 \times \sqrt{3}
\][/tex]
Despejamos [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[
x = \frac{126 \times \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}
\][/tex]
7. Cálculo de la Altura [tex]\(h\)[/tex]:
Sabiendo que [tex]\(h = x\)[/tex], solo necesitamos calcular [tex]\(x\)[/tex]:
- Haciendo la evaluación, encontramos que:
[tex]\[
x \approx 79.88
\][/tex]
Por lo tanto, la altura de la torre también será:
[tex]\[
h \approx 79.88 \, \text{m}
\][/tex]
Conclusión:
La altura de la torre es aproximadamente [tex]\(79.88\)[/tex] metros.
