Para encontrar la constante [tex]\( K \)[/tex], vamos a partir de las ecuaciones dadas.
Primero, se nos provee esta relación de proporción:
[tex]\[ \frac{a}{A} = \frac{b}{B} = \frac{c}{C} = K \][/tex]
Esta relación se puede interpretar como:
[tex]\[ a = AK, \quad b = BK, \quad c = CK \][/tex]
Vamos a sustituir estos valores en las dos ecuaciones dadas.
La primera ecuación es:
[tex]\[ \frac{a + b + c}{A^2 + B^2 + C^2} = 16 \][/tex]
Sustituyendo [tex]\( a = AK \)[/tex], [tex]\( b = BK \)[/tex] y [tex]\( c = CK \)[/tex], obtenemos:
[tex]\[ \frac{AK + BK + CK}{A^2 + B^2 + C^2} = 16 \][/tex]
Simplificando el numerador:
[tex]\[ \frac{K(A + B + C)}{A^2 + B^2 + C^2} = 16 \][/tex]
De aquí, podemos despejar [tex]\( K \)[/tex]:
[tex]\[ K = 16 \frac{A^2 + B^2 + C^2}{A + B + C} \][/tex]
La segunda ecuación es:
[tex]\[ \frac{a(A - 1) + b(B - 1) + c(C - 1)}{A^2 + B^2 + C^2} = 8 \][/tex]
Sustituyendo [tex]\( a = AK \)[/tex], [tex]\( b = BK \)[/tex] y [tex]\( c = CK \)[/tex], obtenemos:
[tex]\[ \frac{AK(A - 1) + BK(B - 1) + CK(C - 1)}{A^2 + B^2 + C^2} = 8 \][/tex]
Simplificando el numerador:
[tex]\[ K \frac{A(A - 1) + B(B - 1) + C(C - 1)}{A^2 + B^2 + C^2} = 8 \][/tex]
De aquí, podemos despejar [tex]\( K \)[/tex]:
[tex]\[ K = 8 \frac{A^2 + B^2 + C^2}{A(A - 1) + B(B - 1) + C(C - 1)} \][/tex]
Ahora tenemos dos expresiones para [tex]\( K \)[/tex]:
1. [tex]\( K = 16 \frac{A^2 + B^2 + C^2}{A + B + C} \)[/tex]
2. [tex]\( K = 8 \frac{A^2 + B^2 + C^2}{A(A - 1) + B(B - 1) + C(C - 1)} \)[/tex]
Igualando ambos valores de [tex]\( K \)[/tex], tenemos:
[tex]\[ 16 \frac{A^2 + B^2 + C^2}{A + B + C} = 8 \frac{A^2 + B^2 + C^2}{A(A - 1) + B(B - 1) + C(C - 1)} \][/tex]
Cancelamos [tex]\( A^2 + B^2 + C^2 \)[/tex] de ambos lados (considerando que no es cero):
[tex]\[ 16 \frac{1}{A + B + C} = 8 \frac{1}{A(A - 1) + B(B - 1) + C(C - 1)} \][/tex]
Reorganizándonos, obtenemos:
[tex]\[ 16 \left( A(A - 1) + B(B - 1) + C(C - 1) \right) = 8 (A + B + C) \][/tex]
Simplificando más, tenemos:
[tex]\[ 2 \left( A(A - 1) + B(B - 1) + C(C - 1) \right) = A + B + C \][/tex]
[tex]\[ 2A^2 - 2A + 2B^2 - 2B + 2C^2 - 2C = A + B + C \][/tex]
Esto puede simplificarse a:
[tex]\[ 2(A^2 + B^2 + C^2) - 2(A + B + C) = A + B + C \][/tex]
[tex]\[ 2(A^2 + B^2 + C^2) - 3(A + B + C) = 0 \][/tex]
A partir de esta ecuación, podemos ver que la forma en que los términos cuadráticos y lineales se relacionan nos lleva a la conclusión de que, al comparar las expresiones para [tex]\( K \)[/tex] derivamos con el valor:
[tex]\[ K = 2 \][/tex]
Por tanto, la constante [tex]\( K \)[/tex] es:
[tex]\[ K = 2 \][/tex]
