Claro, vamos a simplificar cada una de las expresiones paso a paso.
### A. [tex]$\frac{12!}{10!}$[/tex]
Primero, recordemos que el factorial de un número \( n! \) es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta \( n \).
[tex]\[
12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1
\][/tex]
[tex]\[
10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1
\][/tex]
Ahora simplificamos la fracción:
[tex]\[
\frac{12!}{10!} = \frac{12 \times 11 \times 10!}{10!}
\][/tex]
Podemos cancelar el \(10!\) en el numerador y el denominador:
[tex]\[
\frac{12 \times 11 \times \cancel{10!}}{\cancel{10!}} = 12 \times 11 = 132
\][/tex]
Por lo tanto, la simplificación de \(\frac{12!}{10!}\) es 132.
### C. [tex]$\frac{7!}{(7-2)!}$[/tex]
Primero, calculemos el denominador:
[tex]\[
(7-2)! = 5!
\][/tex]
Entonces la fracción es:
[tex]\[
\frac{7!}{5!}
\][/tex]
Utilizando la definición de factorial:
[tex]\[
7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1
\][/tex]
[tex]\[
5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1
\][/tex]
Ahora simplificamos:
[tex]\[
\frac{7!}{5!} = \frac{7 \times 6 \times 5!}{5!}
\][/tex]
Podemos cancelar el \(5!\):
[tex]\[
\frac{7 \times 6 \times \cancel{5!}}{\cancel{5!}} = 7 \times 6 = 42
\][/tex]
Por lo tanto, la simplificación de \(\frac{7!}{(7-2)!}\) es 42.
### D. [tex]$\frac{8!}{(8-3)! \cdot 3!}$[/tex]
Primero, calculemos los factoriales en el denominador:
[tex]\[
(8-3)! = 5!
\][/tex]
[tex]\[
3! = 3 \times 2 \times 1 = 6
\][/tex]
Entonces la fracción es:
[tex]\[
\frac{8!}{5! \cdot 3!}
\][/tex]
Utilizando la definición de factorial:
[tex]\[
8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1
\][/tex]
[tex]\[
5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1
\][/tex]
[tex]\[
3! = 6
\][/tex]
Multiplicamos los factores del denominador:
[tex]\[
5! \cdot 3! = 120 \cdot 6 = 720
\][/tex]
Ahora simplificamos la fracción:
[tex]\[
\frac{8!}{5! \cdot 3!} = \frac{40320}{720} = 56
\][/tex]
Por lo tanto, la simplificación de \(\frac{8!}{(8-3)! \cdot 3!}\) es 56.
Para resumir:
A. \(\frac{12!}{10!} = 132\)
C. \(\frac{7!}{(7-2)!} = 42\)
D. [tex]\(\frac{8!}{(8-3)! \cdot 3!} = 56\)[/tex]
