Claro, vamos a realizar cada una de las operaciones con los polinomios dados paso a paso.
### 1. Operación: [tex]\( P(x) + Q(x) \)[/tex]
Dado:
[tex]\( P(x) = 2x^4 - 3x^2 + 6x - 2 \)[/tex]
[tex]\( Q(x) = x - 3 \)[/tex]
Para sumar [tex]\( P(x) + Q(x) \)[/tex]:
[tex]\[ P(x) + Q(x) = (2x^4 - 3x^2 + 6x - 2) + (x - 3) \][/tex]
Colectamos los términos semejantes:
[tex]\[ = 2x^4 + 0x^3 - 3x^2 + 6x + x - 2 - 3 \][/tex]
[tex]\[ = 2x^4 - 3x^2 + 7x - 5 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ P(x) + Q(x) = 2x^4 - 3x^2 + 7x - 5 \][/tex]
### 2. Operación: [tex]\( P(x) - Q(x) \)[/tex]
Para restar [tex]\( P(x) - Q(x) \)[/tex]:
[tex]\[ P(x) - Q(x) = (2x^4 - 3x^2 + 6x - 2) - (x - 3) \][/tex]
Distribuimos el signo negativo a [tex]\( Q(x) \)[/tex]:
[tex]\[ = 2x^4 - 3x^2 + 6x - 2 - x + 3 \][/tex]
Colectamos los términos semejantes:
[tex]\[ = 2x^4 - 3x^2 + 6x - x + 1 \][/tex]
[tex]\[ = 2x^4 - 3x^2 + 5x + 1 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ P(x) - Q(x) = 2x^4 - 3x^2 + 5x + 1 \][/tex]
### 3. Operación: [tex]\( P(x) + R(x) \)[/tex]
Dado:
[tex]\( R(x) = x + 1 \)[/tex]
Para sumar [tex]\( P(x) + R(x) \)[/tex]:
[tex]\[ P(x) + R(x) = (2x^4 - 3x^2 + 6x - 2) + (x + 1) \][/tex]
Colectamos los términos semejantes:
[tex]\[ = 2x^4 + 0x^3 - 3x^2 + 6x + x - 2 + 1 \][/tex]
[tex]\[ = 2x^4 - 3x^2 + 7x - 1 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ P(x) + R(x) = 2x^4 - 3x^2 + 7x - 1 \][/tex]
### 4. Operación: [tex]\( R(x) - Q(x) \)[/tex]
Para restar [tex]\( R(x) - Q(x) \)[/tex]:
[tex]\[ R(x) - Q(x) = (x + 1) - (x - 3) \][/tex]
Distribuimos el signo negativo a [tex]\( Q(x) \)[/tex]:
[tex]\[ = x + 1 - x + 3 \][/tex]
Colectamos los términos semejantes:
[tex]\[ = (x - x) + (1 + 3) \][/tex]
[tex]\[ = 0 + 4 \][/tex]
[tex]\[ = 4 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ R(x) - Q(x) = 4 \][/tex]
### Resumiendo:
a. [tex]\( P(x) + Q(x) = 2x^4 - 3x^2 + 7x - 5 \)[/tex]
b. [tex]\( P(x) - Q(x) = 2x^4 - 3x^2 + 5x + 1 \)[/tex]
c. [tex]\( P(x) + R(x) = 2x^4 - 3x^2 + 7x - 1 \)[/tex]
d. [tex]\( R(x) - Q(x) = 4 \)[/tex]
