Answer :
Claro, resolvamos cada uno de los conjuntos paso a paso:
### 73. Determina por extensión [tex]\( R = \{x \in \mathbb{N} \mid 4 \leqslant x \leqslant 20\} \)[/tex]
Para [tex]\( R \)[/tex], necesitamos todos los números naturales [tex]\( x \)[/tex] que estén en el rango de 4 a 20, inclusivamente. Por lo tanto:
[tex]\[ R = \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\} \][/tex]
### 74. Determina por extensión [tex]\( T = \left\{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 - 2x - 3 = 0\right\} \)[/tex]
Para [tex]\( T \)[/tex], necesitamos resolver la ecuación cuadrática [tex]\( x^2 - 2x - 3 = 0 \)[/tex]. Factorizamos la ecuación:
[tex]\[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0 \][/tex]
Encontramos las soluciones al establecer cada factor igual a cero:
[tex]\[ x - 3 = 0 \implies x = 3 \][/tex]
[tex]\[ x + 1 = 0 \implies x = -1 \][/tex]
Por lo tanto, el conjunto [tex]\( T \)[/tex] está dado por:
[tex]\[ T = \{-1, 3\} \][/tex]
### 75. Determina por extensión [tex]\( J = \left\{x \in \mathbb{N} \mid x^2 = 169\right\} \)[/tex]
Para [tex]\( J \)[/tex], debemos encontrar el número natural [tex]\( x \)[/tex] que satisface la ecuación [tex]\( x^2 = 169 \)[/tex]:
[tex]\[ x = \pm \sqrt{169} \][/tex]
Pero como estamos buscando un número natural, tomamos solo la solución positiva:
[tex]\[ x = 13 \][/tex]
Por lo tanto, el conjunto [tex]\( J \)[/tex] está dado por:
[tex]\[ J = \{13\} \][/tex]
### 76. Determina por extensión [tex]\( L = \left\{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 - 5x - 6 = 0\right\} \)[/tex]
Para [tex]\( L \)[/tex], necesitamos resolver la ecuación cuadrática [tex]\( x^2 - 5x - 6 = 0 \)[/tex]. Factorizamos la ecuación:
[tex]\[ x^2 - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1) = 0 \][/tex]
Encontramos las soluciones al establecer cada factor igual a cero:
[tex]\[ x - 6 = 0 \implies x = 6 \][/tex]
[tex]\[ x + 1 = 0 \implies x = -1 \][/tex]
Por lo tanto, el conjunto [tex]\( L \)[/tex] está dado por:
[tex]\[ L = \{-1, 6\} \][/tex]
### 77. Determina por extensión [tex]\( H = \left\{x \mid x = \frac{1}{2^n} \wedge n \in \mathbb{N} \right\} \)[/tex]
Para [tex]\( H \)[/tex], necesitamos listar los valores de [tex]\( x \)[/tex] de la forma [tex]\( \frac{1}{2^n} \)[/tex] donde [tex]\( n \)[/tex] es un número natural:
Para valores de [tex]\( n \)[/tex] desde 1 hasta 10, obtenemos:
[tex]\[ H = \left\{\frac{1}{2^1}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{2^3}, \frac{1}{2^4}, \frac{1}{2^5}, \frac{1}{2^6}, \frac{1}{2^7}, \frac{1}{2^8}, \frac{1}{2^9}, \frac{1}{2^{10}}\right\} \][/tex]
Que simplificado se convierte en:
[tex]\[ H = \left\{0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125, 0.015625, 0.0078125, 0.00390625, 0.001953125, 0.0009765625\right\} \][/tex]
Espero que esta resolución detallada te haya sido útil.
### 73. Determina por extensión [tex]\( R = \{x \in \mathbb{N} \mid 4 \leqslant x \leqslant 20\} \)[/tex]
Para [tex]\( R \)[/tex], necesitamos todos los números naturales [tex]\( x \)[/tex] que estén en el rango de 4 a 20, inclusivamente. Por lo tanto:
[tex]\[ R = \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\} \][/tex]
### 74. Determina por extensión [tex]\( T = \left\{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 - 2x - 3 = 0\right\} \)[/tex]
Para [tex]\( T \)[/tex], necesitamos resolver la ecuación cuadrática [tex]\( x^2 - 2x - 3 = 0 \)[/tex]. Factorizamos la ecuación:
[tex]\[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0 \][/tex]
Encontramos las soluciones al establecer cada factor igual a cero:
[tex]\[ x - 3 = 0 \implies x = 3 \][/tex]
[tex]\[ x + 1 = 0 \implies x = -1 \][/tex]
Por lo tanto, el conjunto [tex]\( T \)[/tex] está dado por:
[tex]\[ T = \{-1, 3\} \][/tex]
### 75. Determina por extensión [tex]\( J = \left\{x \in \mathbb{N} \mid x^2 = 169\right\} \)[/tex]
Para [tex]\( J \)[/tex], debemos encontrar el número natural [tex]\( x \)[/tex] que satisface la ecuación [tex]\( x^2 = 169 \)[/tex]:
[tex]\[ x = \pm \sqrt{169} \][/tex]
Pero como estamos buscando un número natural, tomamos solo la solución positiva:
[tex]\[ x = 13 \][/tex]
Por lo tanto, el conjunto [tex]\( J \)[/tex] está dado por:
[tex]\[ J = \{13\} \][/tex]
### 76. Determina por extensión [tex]\( L = \left\{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 - 5x - 6 = 0\right\} \)[/tex]
Para [tex]\( L \)[/tex], necesitamos resolver la ecuación cuadrática [tex]\( x^2 - 5x - 6 = 0 \)[/tex]. Factorizamos la ecuación:
[tex]\[ x^2 - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1) = 0 \][/tex]
Encontramos las soluciones al establecer cada factor igual a cero:
[tex]\[ x - 6 = 0 \implies x = 6 \][/tex]
[tex]\[ x + 1 = 0 \implies x = -1 \][/tex]
Por lo tanto, el conjunto [tex]\( L \)[/tex] está dado por:
[tex]\[ L = \{-1, 6\} \][/tex]
### 77. Determina por extensión [tex]\( H = \left\{x \mid x = \frac{1}{2^n} \wedge n \in \mathbb{N} \right\} \)[/tex]
Para [tex]\( H \)[/tex], necesitamos listar los valores de [tex]\( x \)[/tex] de la forma [tex]\( \frac{1}{2^n} \)[/tex] donde [tex]\( n \)[/tex] es un número natural:
Para valores de [tex]\( n \)[/tex] desde 1 hasta 10, obtenemos:
[tex]\[ H = \left\{\frac{1}{2^1}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{2^3}, \frac{1}{2^4}, \frac{1}{2^5}, \frac{1}{2^6}, \frac{1}{2^7}, \frac{1}{2^8}, \frac{1}{2^9}, \frac{1}{2^{10}}\right\} \][/tex]
Que simplificado se convierte en:
[tex]\[ H = \left\{0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125, 0.015625, 0.0078125, 0.00390625, 0.001953125, 0.0009765625\right\} \][/tex]
Espero que esta resolución detallada te haya sido útil.
