Vamos a resolver el sistema de ecuaciones lineales dado por:
[tex]\[ \left\{ \begin{array}{rcl}
x - 2y & = & 1 \\
3x + y & = & 3 \\
\end{array} \right. \][/tex]
### Paso 1: Expresar el sistema en forma de matriz.
Convertimos las ecuaciones en una matriz de coeficientes [tex]\(A\)[/tex] y un vector de resultados [tex]\(B\)[/tex]:
[tex]\[ A = \begin{pmatrix}
1 & -2 \\
3 & 1 \\
\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}
1 \\
3 \\
\end{pmatrix} \][/tex]
### Paso 2: Encontrar la solución del sistema de ecuaciones.
Vamos a usar métodos algebraicos para resolver este sistema:
#### Método de eliminación de Gauss:
Primero, utilizamos la primera ecuación para despejar [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ x = 1 + 2y \][/tex]
Sustituimos esta expresión de [tex]\(x\)[/tex] en la segunda ecuación:
[tex]\[ 3(1 + 2y) + y = 3 \][/tex]
[tex]\[ 3 + 6y + y = 3 \][/tex]
[tex]\[ 3 + 7y = 3 \][/tex]
[tex]\[ 7y = 0 \][/tex]
[tex]\[ y = 0 \][/tex]
Ahora, sustituimos el valor de [tex]\(y\)[/tex] en la primera ecuación para encontrar [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ x - 2(0) = 1 \][/tex]
[tex]\[ x = 1 \][/tex]
### Solución del sistema de ecuaciones
El sistema tiene una única solución [tex]\((x, y)\)[/tex]:
[tex]\[ x = 1 \quad \text{y} \quad y = 0 \][/tex]
Por lo tanto, las soluciones del sistema de ecuaciones son:
[tex]\[ x = 1 \][/tex]
[tex]\[ y = 0 \][/tex]
De modo que, la solución final del sistema es:
[tex]\[ (1.0, -0.0) \][/tex]
Esta solución es consistente y satisface ambas ecuaciones originales.
