Answer :
Passo a passo para determinar o valor de [tex]\( a \)[/tex] tal que [tex]\( x = 2 \)[/tex] seja uma raiz da equação [tex]\( x + \frac{a x + 3}{4} = \frac{2 a x + 1}{2} \)[/tex]:
1. Substituir [tex]\( x = 2 \)[/tex] na equação original:
[tex]\[ 2 + \frac{a \cdot 2 + 3}{4} = \frac{2 a \cdot 2 + 1}{2} \][/tex]
2. Simplificar os termos dentro dos parênteses:
[tex]\[ 2 + \frac{2a + 3}{4} = \frac{4a + 1}{2} \][/tex]
3. Eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por 4 (para igualar os denominadores):
[tex]\[ 4 \left( 2 + \frac{2a + 3}{4} \right) = 4 \left( \frac{4a + 1}{2} \right) \][/tex]
4. Simplificar as multiplicações:
[tex]\[ 4 \cdot 2 + (2a + 3) = 2 \cdot (4a + 1) \][/tex]
Isso resulta em:
[tex]\[ 8 + 2a + 3 = 8a + 2 \][/tex]
5. Combinar termos semelhantes em ambos os lados da equação:
[tex]\[ 11 + 2a = 8a + 2 \][/tex]
6. Isolar o termo que contém [tex]\( a \)[/tex]:
[tex]\[ 11 - 2 = 8a - 2a \][/tex]
Simplificando:
[tex]\[ 9 = 6a \][/tex]
7. Resolver para [tex]\( a \)[/tex]:
[tex]\[ a = \frac{9}{6} \][/tex]
Simplificando a fração:
[tex]\[ a = \frac{3}{2} \][/tex]
Portanto, o valor de [tex]\( a \)[/tex] é [tex]\( \frac{3}{2} \)[/tex].
---
Resolução de equações literais e restrições do conjunto solução:
Para resolver equações literais, é importante seguir as regras de álgebra para manipular os termos e isolar as variáveis de interesse. Vamos resolver um exemplo para ilustrar os passos e, em seguida, abordar as restrições.
1. Exemplo de equação literal:
[tex]\[ Ax + B = C \][/tex]
Para isolar [tex]\( x \)[/tex], subtraímos [tex]\( B \)[/tex] de ambos os lados:
[tex]\[ Ax = C - B \][/tex]
Em seguida, dividimos ambos os lados por [tex]\( A \)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{C - B}{A} \][/tex]
2. Restrições do conjunto solução:
- Sempre que o denominador contiver variáveis, devemos garantir que ele não seja zero, pois a divisão por zero não é definida.
- Por exemplo, na equação [tex]\( x = \frac{C - B}{A} \)[/tex], precisamos garantir que [tex]\( A \neq 0 \)[/tex].
No caso geral de equações literais, devem-se identificar todas as possíveis restrições impostas pelas operações na equação.
Exemplo com algumas restrições adicionais:
Dada a equação:
[tex]\[ \frac{P}{x - Q} = R \][/tex]
Para resolver para [tex]\( x \)[/tex]:
- Primeiramente, multiplicamos ambos os lados por [tex]\( x - Q \)[/tex] para eliminar o denominador (desde que [tex]\( x \neq Q \)[/tex]):
[tex]\[ P = R(x - Q) \][/tex]
- Em seguida, distribuímos [tex]\( R \)[/tex]:
[tex]\[ P = Rx - RQ \][/tex]
- Isolamos [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ P + RQ = Rx \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{P + RQ}{R} \][/tex]
- A restrição é que [tex]\( Q \neq x \)[/tex] e [tex]\( R \neq 0 \)[/tex].
Resumindo, é essencial tratar de possíveis valores que tornariam qualquer denominador zero e assegurar que a solução esteja em conformidade com essas restrições.
1. Substituir [tex]\( x = 2 \)[/tex] na equação original:
[tex]\[ 2 + \frac{a \cdot 2 + 3}{4} = \frac{2 a \cdot 2 + 1}{2} \][/tex]
2. Simplificar os termos dentro dos parênteses:
[tex]\[ 2 + \frac{2a + 3}{4} = \frac{4a + 1}{2} \][/tex]
3. Eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por 4 (para igualar os denominadores):
[tex]\[ 4 \left( 2 + \frac{2a + 3}{4} \right) = 4 \left( \frac{4a + 1}{2} \right) \][/tex]
4. Simplificar as multiplicações:
[tex]\[ 4 \cdot 2 + (2a + 3) = 2 \cdot (4a + 1) \][/tex]
Isso resulta em:
[tex]\[ 8 + 2a + 3 = 8a + 2 \][/tex]
5. Combinar termos semelhantes em ambos os lados da equação:
[tex]\[ 11 + 2a = 8a + 2 \][/tex]
6. Isolar o termo que contém [tex]\( a \)[/tex]:
[tex]\[ 11 - 2 = 8a - 2a \][/tex]
Simplificando:
[tex]\[ 9 = 6a \][/tex]
7. Resolver para [tex]\( a \)[/tex]:
[tex]\[ a = \frac{9}{6} \][/tex]
Simplificando a fração:
[tex]\[ a = \frac{3}{2} \][/tex]
Portanto, o valor de [tex]\( a \)[/tex] é [tex]\( \frac{3}{2} \)[/tex].
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Resolução de equações literais e restrições do conjunto solução:
Para resolver equações literais, é importante seguir as regras de álgebra para manipular os termos e isolar as variáveis de interesse. Vamos resolver um exemplo para ilustrar os passos e, em seguida, abordar as restrições.
1. Exemplo de equação literal:
[tex]\[ Ax + B = C \][/tex]
Para isolar [tex]\( x \)[/tex], subtraímos [tex]\( B \)[/tex] de ambos os lados:
[tex]\[ Ax = C - B \][/tex]
Em seguida, dividimos ambos os lados por [tex]\( A \)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{C - B}{A} \][/tex]
2. Restrições do conjunto solução:
- Sempre que o denominador contiver variáveis, devemos garantir que ele não seja zero, pois a divisão por zero não é definida.
- Por exemplo, na equação [tex]\( x = \frac{C - B}{A} \)[/tex], precisamos garantir que [tex]\( A \neq 0 \)[/tex].
No caso geral de equações literais, devem-se identificar todas as possíveis restrições impostas pelas operações na equação.
Exemplo com algumas restrições adicionais:
Dada a equação:
[tex]\[ \frac{P}{x - Q} = R \][/tex]
Para resolver para [tex]\( x \)[/tex]:
- Primeiramente, multiplicamos ambos os lados por [tex]\( x - Q \)[/tex] para eliminar o denominador (desde que [tex]\( x \neq Q \)[/tex]):
[tex]\[ P = R(x - Q) \][/tex]
- Em seguida, distribuímos [tex]\( R \)[/tex]:
[tex]\[ P = Rx - RQ \][/tex]
- Isolamos [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ P + RQ = Rx \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{P + RQ}{R} \][/tex]
- A restrição é que [tex]\( Q \neq x \)[/tex] e [tex]\( R \neq 0 \)[/tex].
Resumindo, é essencial tratar de possíveis valores que tornariam qualquer denominador zero e assegurar que a solução esteja em conformidade com essas restrições.
